Chuleta de fórmulas de integración

Esta chuleta de fórmulas de integración reúne las reglas estándar de primitivas que los estudiantes usan primero en cálculo. Úsala cuando el integrando ya coincide con un patrón conocido, como una potencia, $1/x$, una exponencial o una función trigonométrica básica.

La tarea principal es reconocer patrones. Si la expresión es una suma o una diferencia, normalmente puedes integrar término a término. Si es un producto, cociente o composición, puede que necesites otro método.

Principales fórmulas de integración

• Regla de la potencia:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$

• Caso logarítmico:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

• Reglas de exponenciales:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

• Reglas trigonométricas básicas:

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Una regla conecta la mayoría de estos ejemplos: la linealidad.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Esto funciona para sumas y diferencias. No significa que puedas separar un producto en integrales independientes.

La excepción que la mayoría de los estudiantes pasa por alto

La regla de la potencia no funciona cuando $n = -1$. En ese caso, $x^n = x^{-1} = \frac{1}{x}$, y la primitiva es logarítmica:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Escribir $\frac{x^0}{0}$ no tendría sentido, por eso este caso debe tratarse por separado.

Ejemplo resuelto usando varias fórmulas de integración

Calcula

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx$$

Cada término coincide con una fórmula estándar, así que usa la linealidad e integra un término cada vez:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$ $$\int -4\sin x\,dx = 4\cos x$$ $$\int 5e^x\,dx = 5e^x$$

Suma los resultados e incluye la constante de integración:

$$\int \left(3x^2 - 4\sin x + 5e^x\right)\,dx = x^3 + 4\cos x + 5e^x + C$$

Compruébalo derivando:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 + 4\cos x + 5e^x + C\right) = 3x^2 - 4\sin x + 5e^x$$

Ese último paso es la forma más rápida de detectar un error de signo.

Errores comunes con las fórmulas de integración

1. Olvidar la constante de integración. En las integrales indefinidas, la respuesta debe incluir $+C$.
2. Usar la regla de la potencia cuando $n=-1$. $\int x^{-1}\,dx$ no es un caso de la regla de la potencia; es $\ln|x| + C$.
3. Separar un producto como si las integrales se distribuyeran sobre la multiplicación. En general, $\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$.
4. Copiar fórmulas de derivadas sin invertirlas con cuidado. Por ejemplo, $\int \sin x\,dx$ es $-\cos x + C$, no $\cos x + C$.

Cuándo usar una fórmula de integración

Usa una fórmula de integración directa cuando el integrando ya coincide con un patrón estándar tras un álgebra sencilla. Algunos ejemplos típicos son los polinomios, las funciones trigonométricas básicas y las exponenciales simples.

Si el integrando no coincide con una forma conocida, detente antes de forzar una fórmula. Los productos suelen requerir integración por partes, y las composiciones suelen requerir sustitución.

Prueba un problema similar

Intenta resolver $\int \left(6x - 2\cos x + \frac{3}{1+x^2}\right)\,dx$ por tu cuenta. Si cada término coincide con una fórmula estándar y tu respuesta final, al derivarla, vuelve al integrando original, entonces estás usando la chuleta correctamente.