Wzory całkowania — pełna tablica całek

Tablica całek to zestaw standardowych funkcji pierwotnych. Korzystasz z niej wtedy, gdy podcałkowa ma już znaną postać, taką jak $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ albo podstawowa funkcja trygonometryczna.

Żadna skończona tablica nie jest dosłownie kompletna dla każdej możliwej całki. W praktyce „pełna tablica całek” oznacza standardowe wzory, których uczniowie i studenci używają najczęściej, oraz umiejętność rozpoznania, kiedy zadanie nie pasuje bezpośrednio do tablicy.

Do czego przydaje się tablica całek

Tablica jest przede wszystkim narzędziem do rozpoznawania wzorców. Jeśli wyrażenie ma już standardową postać, możesz całkować bezpośrednio. Jeśli nie, tablica pomaga zauważyć, że prawdopodobnie potrzebujesz innej metody, takiej jak podstawienie $u$ albo całkowanie przez części.

W przypadku całek nieoznaczonych celem jest znalezienie funkcji $F(x)$ takiej, że

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

gdzie $F'(x) = f(x)$. Stała $C$ jest konieczna, ponieważ pochodne stałych są równe zero.

Podstawowa tablica całek, którą warto znać

To są pozycje, które ludzie zwykle mają na myśli, gdy proszą o tablicę całek.

Typ	Wzór	Warunek
Reguła potęgowa	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Przypadek logarytmiczny	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Funkcja wykładnicza naturalna	$\int e^x\,dx = e^x + C$	brak
Funkcja wykładnicza o podstawie $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Sinus	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	brak
Cosinus	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	brak
Kwadrat secansa	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	tam, gdzie określona
Kwadrat cosecansa	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	tam, gdzie określona
Odwrotność funkcji kwadratowej	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	brak
Postać odwrotnego sinusa	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	poprawne na przedziałach, gdzie $

Reguła liniowości jest tak samo ważna jak każdy pojedynczy wzór:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Pozwala ona rozdzielać sumy i wyciągać stałe przed znak całki. Nie pozwala natomiast na ogół rozdzielać iloczynu.

Częste wzory z $ax$ lub $ax+b$

Podstawowy wzór często pojawia się ponownie z wyrażeniem $ax$ lub $ax+b$ w środku. Jeśli $a \ne 0$, to są typowe bezpośrednie wyniki:

Typ	Wzór	Warunek
Potęga z liniowym wyrażeniem wewnętrznym	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Postać logarytmiczna z liniowym wyrażeniem wewnętrznym	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Funkcja wykładnicza z liniowym wykładnikiem	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Sinus z liniowym kątem	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Cosinus z liniowym kątem	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

To nie są nowe pomysły. To te same standardowe funkcje pierwotne z poprawką o stały współczynnik.

Wyjątek od reguły potęgowej: $\frac{1}{x}$

Reguła potęgowa nie działa dla $n=-1$. Ten przypadek daje

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Jeśli spróbujesz na siłę zastosować regułę potęgową, w mianowniku pojawi się $n+1=0$, co jest niedozwolone. To standardowy wyjątek, który warto zapamiętać jak najwcześniej.

Przykład rozwiązany: użycie tablicy krok po kroku

Oblicz

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Każdy składnik pasuje do standardowego wzorca, ale nie zawsze do najprostszego podstawowego.

Użyj liniowości, aby rozdzielić całkę:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Dla pierwszego składnika zastosuj regułę potęgową:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Dla drugiego składnika użyj postaci logarytmicznej z liniowym wyrażeniem wewnętrznym. Ponieważ w mianowniku jest $x+1$, tutaj $a=1$, więc

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Dla trzeciego składnika użyj wzoru na cosinus z liniowym kątem:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Połącz wyniki:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Ta odpowiedź jest poprawna na przedziałach, gdzie $x \ne -1$, ponieważ pierwotna funkcja podcałkowa nie jest określona dla $x=-1$.

Najszybszą kontrolą jest różniczkowanie:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Wracasz wtedy do wyjściowej funkcji podcałkowej, więc funkcja pierwotna jest zgodna.

Typowe błędy przy korzystaniu z tablicy całek

• Dopasowanie niewłaściwego wzorca. Jeśli funkcja podcałkowa jest iloczynem, jak $xe^x$, albo złożeniem, jak $\cos(x^2)$, samo bezpośrednie odczytanie z tablicy zwykle nie wystarcza.
• Zapominanie o współczynniku skali. Na przykład $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, a nie po prostu $\sin(2x) + C$.
• Stosowanie reguły potęgowej do $\frac{1}{x}$. Ten przypadek jest logarytmiczny, a nie kolejną potęgą.
• Pomijanie $+C$. Całka nieoznaczona oznacza rodzinę funkcji pierwotnych, a nie jedną konkretną funkcję.

Kiedy tablica całek wystarcza

Tablica całek wystarcza wtedy, gdy funkcja podcałkowa ma już standardową postać albo można ją rozdzielić na standardowe składniki po wyciągnięciu stałych przed całkę.

Nie wystarcza wtedy, gdy struktura zawiera iloczyn, iloraz albo wyrażenie złożone, które nie pasuje bezpośrednio do żadnego wzoru z tablicy. W takich przypadkach tablica nadal pomaga, bo pokazuje, do jakiej postaci próbujesz dojść po przekształceniu lub podstawieniu.

Spróbuj podobnej całki

Spróbuj obliczyć

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Zanim zaczniesz liczyć, nazwij wzór pasujący do każdego składnika i zaznacz, gdzie pojawia się stały współczynnik. Następnie zróżniczkuj swój wynik, aby go sprawdzić.