积分公式——常用积分表大全

积分表是标准原函数的汇总列表。当被积函数本身就符合某个已知模式时，比如 $x^n$、$\frac{1}{x}$、$e^x$ 或基本三角函数，就可以直接查表积分。

任何有限的积分表都不可能真正涵盖所有积分。实际中，人们所说的“完整积分表”，通常是指学生最常用的标准公式，再加上判断一道题是否适合直接查表的能力。

积分表能帮你做什么

积分表本质上是一个模式识别工具。如果表达式已经是标准形式，就可以直接积分。若不是标准形式，积分表也能帮助你判断这道题大概率需要别的方法，比如 $u$-代换或分部积分法。

对于不定积分，目标是找到一个函数 $F(x)$，使得

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

其中 $F'(x) = f(x)$。常数 $C$ 必不可少，因为常数的导数为零。

你应该掌握的基本积分表

当人们提到“积分表”时，通常指的就是下面这些条目。

类型	公式	条件
幂函数公式	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
对数型	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
自然指数函数	$\int e^x\,dx = e^x + C$	无
底数为 $a$ 的指数函数	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
正弦	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	无
余弦	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	无
正割平方	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	在有定义处
余割平方	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	在有定义处
倒二次式	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	无
反正弦型	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	在满足 $

线性性质和任何单个公式一样重要：

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

这意味着你可以把和拆开，并把常数提到积分号外。一般情况下，它并不允许你把乘积拆开。

含有 $ax$ 或 $ax+b$ 的常见积分公式

一个基本公式常常会以内部含有 $ax$ 或 $ax+b$ 的形式再次出现。若 $a \ne 0$，下面这些都是常见的直接结果：

类型	公式	条件
含线性内层的幂函数	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
含线性内层的对数型	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
线性指数	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
线性角的正弦	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
线性角的余弦	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

这些并不是新思想。它们本质上还是同样的标准原函数，只是多了一个常数因子的调整。

幂函数公式的例外：$\frac{1}{x}$

当 $n=-1$ 时，幂函数公式不成立。这时变成

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

如果你硬套幂函数公式，分母就会变成 $n+1=0$，这是不允许的。这是一个非常值得尽早记住的标准例外。

例题：一步一步使用积分表

求

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

每一项都符合某个标准模式，但不一定都是最基础的那一种。

先利用线性性质把积分拆开：

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

第一项使用幂函数公式：

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

第二项使用含线性内层的对数型。因为分母是 $x+1$，这里 $a=1$，所以

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

第三项使用线性角的余弦公式：

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

把结果合并：

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

这个答案在满足 $x \ne -1$ 的区间上成立，因为原被积函数在 $x=-1$ 处无定义。

最快的检验方法是求导：

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

求导后回到了原来的被积函数，因此这个原函数是正确的。

使用积分表时的常见错误

• 对错了模式。如果被积函数是像 $xe^x$ 这样的乘积，或像 $\cos(x^2)$ 这样的复合函数，通常不能只靠直接查表。
• 忘记缩放因子。比如，$\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$，而不只是 $\sin(2x) + C$。
• 对 $\frac{1}{x}$ 使用幂函数公式。这一类是对数型，不是普通幂函数。
• 漏掉 $+C$。不定积分表示的是一族原函数，而不是某一个单独的函数。

什么时候积分表就够用了

当被积函数本身已经是标准形式，或者可以拆成若干标准部分并把常数提出来时，积分表就足够了。

如果结构中含有乘积、商，或不能直接对应表中条目的嵌套表达式，那么积分表本身就不够了。不过即使在这些情况下，积分表仍然有帮助，因为它能告诉你经过改写或代换后，目标形式应该是什么。

试做一个类似的积分

试一试

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

在计算之前，先说出每一项对应的公式，并指出常数因子出现在哪里。然后对你的结果求导进行检验。