Τύποι Ολοκλήρωσης — Πλήρης Πίνακας Ολοκληρωμάτων

Ένας πίνακας ολοκληρωμάτων είναι μια λίστα με τυπικές αντιπαραγώγους. Τον χρησιμοποιείς όταν το ολοκληρωτέο ταιριάζει ήδη με ένα γνωστό πρότυπο όπως $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ ή μια βασική τριγωνομετρική συνάρτηση.

Κανένας πεπερασμένος πίνακας δεν είναι κυριολεκτικά πλήρης για κάθε δυνατό ολοκλήρωμα. Στην πράξη, ένας «πλήρης πίνακας ολοκληρωμάτων» σημαίνει τους τυπικούς τύπους που χρησιμοποιούν πιο συχνά οι μαθητές, μαζί με αρκετή κρίση ώστε να καταλαβαίνεις πότε μια άσκηση δεν ταιριάζει στον πίνακα.

Σε τι σε βοηθά ένας πίνακας ολοκληρωμάτων

Ο πίνακας είναι κυρίως εργαλείο αναγνώρισης προτύπων. Αν η παράσταση είναι ήδη σε τυπική μορφή, μπορείς να ολοκληρώσεις άμεσα. Αν δεν είναι, ο πίνακας σε βοηθά να δεις ότι πιθανότατα χρειάζεσαι άλλη μέθοδο, όπως αντικατάσταση $u$ ή ολοκλήρωση κατά μέρη.

Στα αόριστα ολοκληρώματα, ο στόχος είναι να βρεις μια συνάρτηση $F(x)$ τέτοια ώστε

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

όπου $F'(x) = f(x)$. Η σταθερά $C$ είναι απαραίτητη, επειδή οι παράγωγοι των σταθερών είναι μηδέν.

Βασικός πίνακας ολοκληρωμάτων που πρέπει να ξέρεις

Αυτές είναι οι εγγραφές που συνήθως εννοούν όταν ζητούν έναν πίνακα ολοκληρωμάτων.

Τύπος	Τύπος	Συνθήκη
Κανόνας δύναμης	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Λογαριθμική περίπτωση	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Φυσική εκθετική	$\int e^x\,dx = e^x + C$	καμία
Εκθετική με βάση $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Ημίτονο	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	καμία
Συνημίτονο	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	καμία
Τετράγωνο της τέμνουσας	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	όπου ορίζεται
Τετράγωνο της συντέμνουσας	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	όπου ορίζεται
Αντίστροφο τετραγωνικού τριωνύμου	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	καμία
Μορφή αντίστροφου ημιτόνου	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	ισχύει σε διαστήματα με $

Ο κανόνας της γραμμικότητας είναι εξίσου σημαντικός με οποιαδήποτε μεμονωμένη εγγραφή:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Αυτό σου επιτρέπει να χωρίζεις αθροίσματα και να βγάζεις σταθερές έξω από το ολοκλήρωμα. Δεν σου επιτρέπει γενικά να χωρίζεις ένα γινόμενο.

Συνήθεις εγγραφές πίνακα με $ax$ ή $ax+b$

Ένας βασικός τύπος συχνά επανεμφανίζεται με $ax$ ή $ax+b$ στο εσωτερικό του. Αν $a \ne 0$, αυτά είναι συνηθισμένα άμεσα αποτελέσματα:

Τύπος	Τύπος	Συνθήκη
Δύναμη με γραμμικό εσωτερικό όρο	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Λογαριθμική μορφή με γραμμικό εσωτερικό όρο	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Εκθετική με γραμμικό εκθέτη	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Ημίτονο με γραμμική γωνία	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Συνημίτονο με γραμμική γωνία	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Αυτές δεν είναι νέες ιδέες. Είναι οι ίδιες τυπικές αντιπαράγωγοι με μια προσαρμογή λόγω σταθερού παράγοντα.

Η εξαίρεση του κανόνα δύναμης: $\frac{1}{x}$

Ο κανόνας δύναμης δεν ισχύει για $n=-1$. Αυτή η περίπτωση γίνεται

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Αν προσπαθήσεις να εφαρμόσεις με το ζόρι τον κανόνα δύναμης, ο παρονομαστής γίνεται $n+1=0$, κάτι που δεν επιτρέπεται. Αυτή είναι η βασική εξαίρεση που αξίζει να απομνημονεύσεις από νωρίς.

Λυμένο παράδειγμα: χρήση του πίνακα βήμα προς βήμα

Να βρεθεί το

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Κάθε όρος ταιριάζει με ένα τυπικό πρότυπο, αλλά όχι πάντα με το πιο απλό βασικό.

Χρησιμοποίησε τη γραμμικότητα για να χωρίσεις το ολοκλήρωμα:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Για τον πρώτο όρο, χρησιμοποίησε τον κανόνα δύναμης:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Για τον δεύτερο όρο, χρησιμοποίησε τη λογαριθμική μορφή με γραμμική εσωτερική παράσταση. Αφού ο παρονομαστής είναι $x+1$, εδώ $a=1$, άρα

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Για τον τρίτο όρο, χρησιμοποίησε τον τύπο του συνημιτόνου με γραμμική γωνία:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Συνδύασε τα αποτελέσματα:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Αυτή η απάντηση ισχύει σε διαστήματα όπου $x \ne -1$, επειδή το αρχικό ολοκληρωτέο δεν ορίζεται στο $x=-1$.

Ο πιο γρήγορος έλεγχος είναι η παραγώγιση:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Αυτό σε επιστρέφει στο αρχικό ολοκληρωτέο, άρα η αντιπαράγωγος είναι συνεπής.

Συχνά λάθη όταν χρησιμοποιείς πίνακα ολοκληρωμάτων

• Αντιστοίχιση σε λάθος πρότυπο. Αν το ολοκληρωτέο είναι γινόμενο όπως $xe^x$ ή σύνθεση όπως $\cos(x^2)$, μια άμεση αναζήτηση στον πίνακα συνήθως δεν αρκεί.
• Ξεχνάς τον συντελεστή κλίμακας. Για παράδειγμα, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, και όχι απλώς $\sin(2x) + C$.
• Χρήση του κανόνα δύναμης στο $\frac{1}{x}$. Αυτή η περίπτωση είναι λογαριθμική, όχι άλλη μία δύναμη.
• Παράλειψη του $+C$. Ένα αόριστο ολοκλήρωμα παριστάνει μια οικογένεια αντιπαραγώγων, όχι μία μόνο συνάρτηση.

Πότε αρκεί ένας πίνακας ολοκληρωμάτων

Ένας πίνακας ολοκληρωμάτων αρκεί όταν το ολοκληρωτέο είναι ήδη σε τυπική μορφή ή μπορεί να χωριστεί σε τυπικά κομμάτια με τις σταθερές παραγοντοποιημένες έξω.

Δεν αρκεί όταν η δομή περιλαμβάνει γινόμενο, πηλίκο ή εμφωλευμένη παράσταση που δεν ταιριάζει άμεσα με κάποια εγγραφή του πίνακα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο πίνακας εξακολουθεί να βοηθά, επειδή σου δείχνει σε ποια μορφή προσπαθείς να καταλήξεις μετά από αναγραφή ή αντικατάσταση.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο ολοκλήρωμα

Δοκίμασε το

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Πριν υπολογίσεις, ονόμασε τον αντίστοιχο τύπο για κάθε όρο και σημείωσε πού εμφανίζεται σταθερός παράγοντας. Έπειτα παραγώγισε το αποτέλεσμά σου για να το ελέγξεις.