積分公式 — 積分表の完全ガイド

積分表とは、標準的な不定積分の一覧です。被積分関数が $x^n$、$\frac{1}{x}$、$e^x$、基本的な三角関数のような既知の形にそのまま当てはまるときに使います。

有限個の公式だけで、あらゆる積分を文字どおり完全に網羅できるわけではありません。実際には、「完全な積分表」とは、学生が最もよく使う標準公式と、問題がその表にそのまま当てはまらないと見抜く判断力を含めたものを指します。

積分表でできること

積分表は主に、形を見分けるための道具です。式がすでに標準形なら、そのまま積分できます。そうでない場合でも、$u$ 置換や部分積分のような別の方法が必要だと気づく手がかりになります。

不定積分では、次を満たす関数 $F(x)$ を見つけることが目標です。

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

ここで $F'(x) = f(x)$ です。定数 $C$ が必要なのは、定数の導関数が 0 だからです。

覚えておきたい基本の積分表

積分表といったとき、ふつうは次のような公式を指します。

種類	公式	条件
べき乗の公式	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
対数型	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
自然指数関数	$\int e^x\,dx = e^x + C$	なし
底が $a$ の指数関数	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
正弦	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	なし
余弦	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	なし
正割の二乗	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	定義される範囲で
余割の二乗	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	定義される範囲で
逆二次式	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	なし
逆正弦型	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	$

線形性の公式も、個々の積分公式と同じくらい重要です。

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

これにより、和を分けたり定数を外に出したりできます。ただし、一般には積を分けることはできません。

$ax$ や $ax+b$ を含むよくある公式

基本公式の中身が $ax$ や $ax+b$ に変わって現れることはよくあります。$a \ne 0$ のとき、次の結果はよく直接使います。

種類	公式	条件
内側が一次式のべき乗	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
内側が一次式の対数型	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
指数が一次式の指数関数	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
角が一次式の正弦	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
角が一次式の余弦	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

これらは新しい考え方ではありません。同じ標準的な原始関数に、定数倍の調整が加わっただけです。

べき乗の公式の例外：$\frac{1}{x}$

べき乗の公式は $n=-1$ では 使えません。この場合は

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

となります。無理にべき乗の公式を使うと、分母が $n+1=0$ になってしまい、これは許されません。これは早い段階で覚えておくべき代表的な例外です。

例題：積分表を使って順に解く

次を求めます。

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

各項は標準的な形に当てはまりますが、必ずしも最も基本的な形そのままではありません。

まず線形性を使って積分を分けます。

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

1つ目の項には、べき乗の公式を使います。

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

2つ目の項には、内側が一次式の対数型を使います。分母は $x+1$ なので、ここでは $a=1$ です。したがって

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

3つ目の項には、角が一次式の余弦の公式を使います。

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

結果をまとめると、

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

となります。元の被積分関数は $x=-1$ で定義されないので、この答えは $x \ne -1$ である区間で有効です。

最も手早い確認方法は微分です。

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

元の被積分関数に戻るので、この原始関数は正しいと確認できます。

積分表を使うときによくあるミス

• 間違った形に当てはめること。被積分関数が $xe^x$ のような積や、$\cos(x^2)$ のような合成関数なら、積分表をそのまま引くだけでは通常は不十分です。
• 倍率の調整を忘れること。たとえば $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$ であり、単に $\sin(2x) + C$ ではありません。
• $\frac{1}{x}$ にべき乗の公式を使うこと。この場合は対数型であり、別のべき乗ではありません。
• $+C$ を落とすこと。不定積分は1つの関数ではなく、原始関数の族を表します。

積分表だけで十分な場合

被積分関数がすでに標準形であるか、定数を外に出して標準的な項に分けられるなら、積分表だけで十分です。

一方で、積・商・入れ子になった式など、積分表の項に直接は当てはまらない構造では、それだけでは足りません。その場合でも、積分表は式変形や置換のあとにどの形を目指すべきかを教えてくれます。

類題に挑戦

次をやってみましょう。

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

計算する前に、各項がどの公式に対応するかを言葉で確認し、どこに定数倍の調整が入るかを見てください。そのあと、自分の答えを微分して確かめましょう。