Formules d’intégration — Tableau complet des intégrales

Un tableau des intégrales est une liste de primitives usuelles. On l’utilise lorsque l’intégrande correspond déjà à une forme connue comme $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ ou une fonction trigonométrique de base.

Aucun tableau fini n’est littéralement complet pour toutes les intégrales possibles. En pratique, un « tableau complet des intégrales » désigne les formules standard que les élèves utilisent le plus souvent, avec assez de recul pour voir quand un exercice ne correspond pas au tableau.

À quoi sert un tableau des intégrales

Le tableau est avant tout un outil de reconnaissance de formes. Si l’expression est déjà sous une forme standard, on peut intégrer directement. Sinon, le tableau vous aide à voir qu’il faut probablement utiliser une autre méthode comme le changement de variable $u$ ou l’intégration par parties.

Pour les intégrales indéfinies, le but est de trouver une fonction $F(x)$ telle que

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

où $F'(x) = f(x)$. La constante $C$ est nécessaire parce que la dérivée d’une constante est nulle.

Tableau de base des intégrales à connaître

Ce sont les formules auxquelles on pense généralement quand on demande un tableau des intégrales.

Type	Formula	Condition
Règle de puissance	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Cas logarithmique	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Exponentielle naturelle	$\int e^x\,dx = e^x + C$	aucune
Exponentielle de base $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Sinus	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	aucune
Cosinus	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	aucune
Sécante au carré	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	là où elle est définie
Cosécante au carré	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	là où elle est définie
Quadratique réciproque	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	aucune
Forme de l’arcsinus	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	valable sur des intervalles où $

La règle de linéarité est tout aussi importante que n’importe quelle formule isolée :

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Elle permet de séparer une somme et de sortir les constantes. En général, elle ne permet pas de séparer un produit.

Formules courantes avec $ax$ ou $ax+b$

Une formule de base réapparaît souvent avec $ax$ ou $ax+b$ à l’intérieur. Si $a \ne 0$, on obtient directement les résultats suivants :

Type	Formula	Condition
Puissance avec expression linéaire intérieure	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Forme logarithmique avec expression linéaire intérieure	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Exponentielle avec exposant linéaire	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Sinus avec angle linéaire	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Cosinus avec angle linéaire	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Ce ne sont pas de nouvelles idées. Ce sont les mêmes primitives standard, avec un ajustement par facteur constant.

L’exception à la règle de puissance : $\frac{1}{x}$

La règle de puissance ne fonctionne pas pour $n=-1$. Dans ce cas, on obtient

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Si vous essayez de forcer la règle de puissance, le dénominateur devient $n+1=0$, ce qui est interdit. C’est l’exception standard qu’il faut mémoriser tôt.

Exemple corrigé : utiliser le tableau étape par étape

Calculer

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Chaque terme correspond à une forme standard, mais pas toujours à la plus simple.

Utilisez la linéarité pour séparer l’intégrale :

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Pour le premier terme, utilisez la règle de puissance :

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Pour le deuxième terme, utilisez la forme logarithmique avec une expression linéaire intérieure. Comme le dénominateur est $x+1$, on a ici $a=1$, donc

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Pour le troisième terme, utilisez la formule du cosinus avec un angle linéaire :

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

On regroupe les résultats :

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Cette réponse est valable sur les intervalles où $x \ne -1$, car l’intégrande de départ n’est pas défini en $x=-1$.

La vérification la plus rapide consiste à dériver :

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

On retrouve bien l’intégrande initial, donc la primitive est cohérente.

Erreurs fréquentes avec un tableau des intégrales

• Associer la mauvaise forme. Si l’intégrande est un produit comme $xe^x$ ou une composée comme $\cos(x^2)$, une lecture directe du tableau ne suffit généralement pas.
• Oublier le facteur d’échelle. Par exemple, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, et non simplement $\sin(2x) + C$.
• Utiliser la règle de puissance sur $\frac{1}{x}$. Ce cas est logarithmique, pas une autre puissance.
• Oublier le $+C$. Une intégrale indéfinie représente une famille de primitives, pas une seule fonction.

Quand un tableau des intégrales suffit

Un tableau des intégrales suffit lorsque l’intégrande est déjà sous forme standard ou peut être décomposé en termes standard après avoir sorti les constantes.

Il ne suffit pas lorsque la structure contient un produit, un quotient ou une expression imbriquée qui ne correspond pas directement à une formule du tableau. Dans ces cas-là, le tableau reste utile, car il indique la forme qu’il faut essayer d’atteindre après une réécriture ou un changement de variable.

Essayez une intégrale similaire

Essayez

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Avant de calculer, identifiez la formule correspondante pour chaque terme et repérez où apparaît un facteur constant. Ensuite, dérivez votre résultat pour le vérifier.