적분 공식 — 부정적분 공식표 완전 정리

부정적분 공식표는 표준 원시함수를 정리한 목록입니다. 적분하려는 함수가 $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$, 또는 기본 삼각함수처럼 이미 알려진 형태와 일치할 때 사용합니다.

어떤 유한한 표도 가능한 모든 적분을 문자 그대로 완전히 담을 수는 없습니다. 실제로 "완전한 부정적분 공식표"란 학생들이 가장 자주 쓰는 표준 공식들과, 문제가 공식표에 바로 맞지 않을 때 그것을 판단할 수 있는 감각까지 포함하는 뜻입니다.

부정적분 공식표가 도움이 되는 일

이 표는 기본적으로 패턴을 알아보는 도구입니다. 식이 이미 표준형이면 바로 적분할 수 있습니다. 표준형이 아니라면, 공식표를 통해 아마도 $u$-치환이나 부분적분 같은 다른 방법이 필요하다는 점을 알 수 있습니다.

부정적분에서는 다음을 만족하는 함수 $F(x)$를 찾는 것이 목표입니다.

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

여기서 $F'(x) = f(x)$입니다. 상수 $C$가 필요한 이유는 상수의 도함수가 0이기 때문입니다.

꼭 알아야 할 기본 부정적분 공식표

사람들이 적분 공식표를 묻는다면 보통 아래 항목들을 뜻합니다.

유형	공식	조건
거듭제곱 법칙	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
로그형	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
자연지수함수	$\int e^x\,dx = e^x + C$	없음
밑이 $a$인 지수함수	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
사인	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	없음
코사인	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	없음
시컨트 제곱	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	정의되는 곳에서
코시컨트 제곱	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	정의되는 곳에서
역이차식형	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	없음
아크사인형	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	$

선형성 법칙은 개별 공식 하나하나만큼 중요합니다.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

이 성질을 이용하면 합을 나누고 상수를 적분기호 밖으로 뺄 수 있습니다. 하지만 일반적으로 곱을 나눌 수는 없습니다.

$ax$ 또는 $ax+b$가 들어간 자주 쓰는 공식

기본 공식은 내부에 $ax$나 $ax+b$가 들어간 형태로 자주 다시 나타납니다. $a \ne 0$이면 다음 결과들을 바로 사용할 수 있습니다.

유형	공식	조건
일차식 내부를 가진 거듭제곱	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
일차식 내부를 가진 로그형	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
일차식 지수를 가진 지수함수	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
일차식 각을 가진 사인	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
일차식 각을 가진 코사인	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

이것들은 새로운 아이디어가 아닙니다. 같은 표준 원시함수에 상수배 조정이 들어간 것뿐입니다.

거듭제곱 법칙의 예외: $\frac{1}{x}$

거듭제곱 법칙은 $n=-1$일 때는 적용되지 않습니다. 이 경우는 다음과 같습니다.

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

억지로 거듭제곱 법칙을 적용하면 분모가 $n+1=0$이 되어 허용되지 않습니다. 이것은 초기에 꼭 외워 두어야 할 대표적인 예외입니다.

풀이 예제: 공식표를 단계별로 사용하기

다음을 구해 봅시다.

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

각 항은 표준 패턴에 맞지만, 항상 가장 단순한 기본형은 아닙니다.

선형성을 이용해 적분을 나눕니다.

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

첫 번째 항에는 거듭제곱 법칙을 사용합니다.

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

두 번째 항에는 내부가 일차식인 로그형 공식을 사용합니다. 분모가 $x+1$이므로 여기서는 $a=1$입니다. 따라서

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

세 번째 항에는 내부 각이 일차식인 코사인 공식을 사용합니다.

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

결과를 합치면

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

원래 적분함수는 $x=-1$에서 정의되지 않으므로, 이 답은 $x \ne -1$인 구간에서 유효합니다.

가장 빠른 확인 방법은 미분입니다.

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

원래 적분함수로 다시 돌아가므로, 구한 원시함수는 일관됩니다.

부정적분 공식표를 사용할 때 자주 하는 실수

• 잘못된 패턴에 억지로 맞추는 것. 적분함수가 $xe^x$ 같은 곱이거나 $\cos(x^2)$ 같은 합성함수라면, 보통 공식표만 바로 적용해서는 충분하지 않습니다.
• 배율 인자를 빼먹는 것. 예를 들어 $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$이지, 그냥 $\sin(2x) + C$가 아닙니다.
• $\frac{1}{x}$에 거듭제곱 법칙을 쓰는 것. 이 경우는 또 다른 거듭제곱이 아니라 로그형입니다.
• $+C$를 빠뜨리는 것. 부정적분은 하나의 함수가 아니라 원시함수들의 족을 나타냅니다.

부정적분 공식표만으로 충분한 경우

적분함수가 이미 표준형이거나, 상수를 밖으로 빼고 표준형 조각들로 나눌 수 있다면 부정적분 공식표만으로 충분합니다.

하지만 구조가 곱, 몫, 또는 중첩된 식이라서 공식표 항목과 직접 맞지 않으면 그것만으로는 충분하지 않습니다. 그런 경우에도 공식표는 여전히 도움이 됩니다. 식을 변형하거나 치환한 뒤 어떤 형태를 목표로 해야 하는지 알려 주기 때문입니다.

비슷한 적분을 직접 해 보세요

다음을 풀어 보세요.

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

계산하기 전에 각 항에 맞는 공식을 먼저 말해 보고, 어디에서 상수배가 나타나는지도 확인해 보세요. 그런 다음 결과를 미분해서 맞는지 점검해 보세요.