สูตรอินทิเกรต — ตารางปริพันธ์ครบถ้วน

ตารางปริพันธ์คือรายการของปฏิยานุพันธ์มาตรฐาน ใช้เมื่อฟังก์ชันที่ต้องอินทิเกรตมีรูปตรงกับแบบที่รู้จักอยู่แล้ว เช่น $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

ไม่มีตารางแบบจำกัดใดที่ “ครบถ้วน” สำหรับปริพันธ์ทุกแบบได้จริง ในทางปฏิบัติ “ตารางปริพันธ์ครบถ้วน” มักหมายถึงชุดสูตรมาตรฐานที่นักเรียนใช้บ่อยที่สุด พร้อมกับการพิจารณาว่าเมื่อไรโจทย์ไม่ตรงกับสูตรในตาราง

ตารางปริพันธ์ช่วยอะไรได้บ้าง

ตารางนี้เป็นเครื่องมือสำหรับจดจำรูปแบบเป็นหลัก ถ้านิพจน์อยู่ในรูปมาตรฐานอยู่แล้ว คุณสามารถอินทิเกรตได้โดยตรง แต่ถ้ายังไม่อยู่ในรูปนั้น ตารางจะช่วยให้เห็นว่าคุณน่าจะต้องใช้วิธีอื่น เช่น การแทนค่า $u$ หรือการอินทิเกรตโดยส่วน

สำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต เป้าหมายคือหาฟังก์ชัน $F(x)$ ที่ทำให้

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

โดยที่ $F'(x) = f(x)$. ค่าคงที่ $C$ จำเป็นเพราะอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์

ตารางปริพันธ์พื้นฐานที่ควรรู้

นี่คือรายการที่คนส่วนใหญ่มักหมายถึงเมื่อพูดถึงตารางปริพันธ์

ประเภท	สูตร	เงื่อนไข
กฎยกกำลัง	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
กรณีลอการิทึม	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
เอ็กซ์โพเนนเชียลฐานธรรมชาติ	$\int e^x\,dx = e^x + C$	ไม่มี
เอ็กซ์โพเนนเชียลฐาน $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
ไซน์	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	ไม่มี
โคไซน์	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	ไม่มี
ซีแคนต์กำลังสอง	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	ในช่วงที่นิยาม
โคซีแคนต์กำลังสอง	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	ในช่วงที่นิยาม
ส่วนกลับของกำลังสอง	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	ไม่มี
รูปอินเวอร์สไซน์	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	ใช้ได้บนช่วงที่ $

สมบัติเชิงเส้นสำคัญพอ ๆ กับสูตรแต่ละข้อ:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

สมบัตินี้ทำให้คุณแยกผลบวกและดึงค่าคงที่ออกมาได้ แต่โดยทั่วไปไม่สามารถแยกผลคูณได้

สูตรที่พบบ่อยเมื่อมี $ax$ หรือ $ax+b$

สูตรพื้นฐานมักปรากฏอีกครั้งในรูปที่มี $ax$ หรือ $ax+b$ อยู่ข้างใน ถ้า $a \ne 0$ นี่คือผลลัพธ์ตรงที่ใช้บ่อย:

ประเภท	สูตร	เงื่อนไข
กำลังที่มีพจน์เชิงเส้นด้านใน	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
รูปลอการิทึมที่มีพจน์เชิงเส้นด้านใน	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
เอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีเลขชี้กำลังเชิงเส้น	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
ไซน์ที่มีมุมเชิงเส้น	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
โคไซน์ที่มีมุมเชิงเส้น	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่แนวคิดใหม่ แต่เป็นปฏิยานุพันธ์มาตรฐานเดิมที่มีการปรับด้วยตัวคูณค่าคงที่

ข้อยกเว้นของกฎยกกำลัง: $\frac{1}{x}$

กฎยกกำลังใช้กับ $n=-1$ ไม่ได้ กรณีนั้นจะกลายเป็น

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

ถ้าคุณพยายามฝืนใช้กฎยกกำลัง ตัวส่วนจะกลายเป็น $n+1=0$ ซึ่งทำไม่ได้ นี่คือข้อยกเว้นมาตรฐานที่ควรจำให้ได้ตั้งแต่ต้น

ตัวอย่างทำโจทย์: ใช้ตารางทีละขั้น

จงหา

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

แต่ละพจน์ตรงกับรูปแบบมาตรฐาน แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นรูปพื้นฐานที่ง่ายที่สุดเสมอไป

ใช้สมบัติเชิงเส้นเพื่อแยกปริพันธ์:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

พจน์แรก ใช้กฎยกกำลัง:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

พจน์ที่สอง ใช้รูปลอการิทึมที่มีนิพจน์เชิงเส้นด้านใน เนื่องจากตัวส่วนคือ $x+1$ ในที่นี้ $a=1$ ดังนั้น

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

พจน์ที่สาม ใช้สูตรโคไซน์ที่มีมุมเชิงเส้น:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

รวมผลลัพธ์ได้เป็น

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

คำตอบนี้ใช้ได้บนช่วงที่ $x \ne -1$ เพราะฟังก์ชันเดิมไม่นิยามที่ $x=-1$

วิธีตรวจที่เร็วที่สุดคือหาอนุพันธ์:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

ผลลัพธ์กลับไปเป็นฟังก์ชันเดิม จึงสอดคล้องกับปฏิยานุพันธ์ที่หาได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อใช้ตารางปริพันธ์

• จับคู่รูปแบบผิด ถ้าฟังก์ชันเป็นผลคูณอย่าง $xe^x$ หรือเป็นฟังก์ชันประกอบอย่าง $\cos(x^2)$ การเปิดตารางโดยตรงมักยังไม่พอ
• ลืมตัวคูณปรับสเกล เช่น $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$ ไม่ใช่แค่ $\sin(2x) + C$
• ใช้กฎยกกำลังกับ $\frac{1}{x}$ กรณีนี้เป็นลอการิทึม ไม่ใช่กำลังอีกกรณีหนึ่ง
• ลืม $+C$ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตแทนตระกูลของปฏิยานุพันธ์ ไม่ใช่ฟังก์ชันเดียว

เมื่อไรตารางปริพันธ์เพียงพอ

ตารางปริพันธ์เพียงพอเมื่อฟังก์ชันที่ต้องอินทิเกรตอยู่ในรูปมาตรฐานอยู่แล้ว หรือสามารถแยกเป็นส่วนมาตรฐานได้โดยดึงค่าคงที่ออกมาก่อน

แต่จะไม่เพียงพอเมื่อโครงสร้างของนิพจน์เป็นผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันซ้อนที่ไม่ตรงกับรายการในตารางโดยตรง ในกรณีเหล่านั้น ตารางก็ยังมีประโยชน์ เพราะช่วยบอกว่าคุณกำลังพยายามเปลี่ยนรูปให้ไปถึงรูปแบบใดหลังจากจัดรูปหรือแทนค่า

ลองทำปริพันธ์ที่คล้ายกัน

ลองทำ

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

ก่อนคำนวณ ให้บอกว่าสูตรใดตรงกับแต่ละพจน์ และสังเกตว่ามีตัวคูณค่าคงที่ปรากฏตรงไหน จากนั้นหาอนุพันธ์ของคำตอบเพื่อตรวจสอบ