ตารางปริพันธ์คือรายการของปฏิยานุพันธ์มาตรฐาน ใช้เมื่อฟังก์ชันที่ต้องอินทิเกรตมีรูปตรงกับแบบที่รู้จักอยู่แล้ว เช่น xnx^n, 1x\frac{1}{x}, exe^x หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน

ไม่มีตารางแบบจำกัดใดที่ “ครบถ้วน” สำหรับปริพันธ์ทุกแบบได้จริง ในทางปฏิบัติ “ตารางปริพันธ์ครบถ้วน” มักหมายถึงชุดสูตรมาตรฐานที่นักเรียนใช้บ่อยที่สุด พร้อมกับการพิจารณาว่าเมื่อไรโจทย์ไม่ตรงกับสูตรในตาราง

ตารางปริพันธ์ช่วยอะไรได้บ้าง

ตารางนี้เป็นเครื่องมือสำหรับจดจำรูปแบบเป็นหลัก ถ้านิพจน์อยู่ในรูปมาตรฐานอยู่แล้ว คุณสามารถอินทิเกรตได้โดยตรง แต่ถ้ายังไม่อยู่ในรูปนั้น ตารางจะช่วยให้เห็นว่าคุณน่าจะต้องใช้วิธีอื่น เช่น การแทนค่า uu หรือการอินทิเกรตโดยส่วน

สำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต เป้าหมายคือหาฟังก์ชัน F(x)F(x) ที่ทำให้

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C

โดยที่ F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). ค่าคงที่ CC จำเป็นเพราะอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์

ตารางปริพันธ์พื้นฐานที่ควรรู้

นี่คือรายการที่คนส่วนใหญ่มักหมายถึงเมื่อพูดถึงตารางปริพันธ์

ประเภท สูตร เงื่อนไข
กฎยกกำลัง \int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C n≠−1n \ne -1
กรณีลอการิทึม $\int \frac{1}{x},dx = \ln x
เอ็กซ์โพเนนเชียลฐานธรรมชาติ ∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx = e^x + C ไม่มี
เอ็กซ์โพเนนเชียลฐาน aa ∫ax dx={ax}{ln⁡a}+C\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C a>0a > 0, a≠1a \ne 1
ไซน์ ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx = -\cos x + C ไม่มี
โคไซน์ ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx = \sin x + C ไม่มี
ซีแคนต์กำลังสอง ∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C ในช่วงที่นิยาม
โคซีแคนต์กำลังสอง ∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C ในช่วงที่นิยาม
ส่วนกลับของกำลังสอง ∫{1}{1+x2} dx=arctan⁡x+C\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C ไม่มี
รูปอินเวอร์สไซน์ \int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C ใช้ได้บนช่วงที่ $

สมบัติเชิงเส้นสำคัญพอ ๆ กับสูตรแต่ละข้อ:

∫(af(x)+bg(x)) dx=a∫f(x) dx+b∫g(x) dx\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx

สมบัตินี้ทำให้คุณแยกผลบวกและดึงค่าคงที่ออกมาได้ แต่โดยทั่วไปไม่สามารถแยกผลคูณได้

สูตรที่พบบ่อยเมื่อมี axax หรือ ax+bax+b

สูตรพื้นฐานมักปรากฏอีกครั้งในรูปที่มี axax หรือ ax+bax+b อยู่ข้างใน ถ้า a≠0a \ne 0 นี่คือผลลัพธ์ตรงที่ใช้บ่อย:

ประเภท สูตร เงื่อนไข
กำลังที่มีพจน์เชิงเส้นด้านใน \int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C a≠0a \ne 0, n≠−1n \ne -1
รูปลอการิทึมที่มีพจน์เชิงเส้นด้านใน $\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln ax+b
เอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีเลขชี้กำลังเชิงเส้น ∫e{ax} dx={1}{a}e{ax}+C\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C a≠0a \ne 0
ไซน์ที่มีมุมเชิงเส้น ∫sin⁡(ax) dx=−{1}{a}cos⁡(ax)+C\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C a≠0a \ne 0
โคไซน์ที่มีมุมเชิงเส้น ∫cos⁡(ax) dx={1}{a}sin⁡(ax)+C\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C a≠0a \ne 0

สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่แนวคิดใหม่ แต่เป็นปฏิยานุพันธ์มาตรฐานเดิมที่มีการปรับด้วยตัวคูณค่าคงที่

ข้อยกเว้นของกฎยกกำลัง: 1x\frac{1}{x}

กฎยกกำลังใช้กับ n=−1n=-1 ไม่ได้ กรณีนั้นจะกลายเป็น

∫x−1 dx=∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

ถ้าคุณพยายามฝืนใช้กฎยกกำลัง ตัวส่วนจะกลายเป็น n+1=0n+1=0 ซึ่งทำไม่ได้ นี่คือข้อยกเว้นมาตรฐานที่ควรจำให้ได้ตั้งแต่ต้น

ตัวอย่างทำโจทย์: ใช้ตารางทีละขั้น

จงหา

∫(3x2−4x+1+5cos⁡(2x)) dx\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx

แต่ละพจน์ตรงกับรูปแบบมาตรฐาน แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นรูปพื้นฐานที่ง่ายที่สุดเสมอไป

ใช้สมบัติเชิงเส้นเพื่อแยกปริพันธ์:

∫3x2 dx−4∫1x+1 dx+5∫cos⁡(2x) dx\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx

พจน์แรก ใช้กฎยกกำลัง:

∫3x2 dx=x3\int 3x^2\,dx = x^3

พจน์ที่สอง ใช้รูปลอการิทึมที่มีนิพจน์เชิงเส้นด้านใน เนื่องจากตัวส่วนคือ x+1x+1 ในที่นี้ a=1a=1 ดังนั้น

−4∫1x+1 dx=−4ln⁡∣x+1∣-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|

พจน์ที่สาม ใช้สูตรโคไซน์ที่มีมุมเชิงเส้น:

5∫cos⁡(2x) dx=52sin⁡(2x)5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)

รวมผลลัพธ์ได้เป็น

∫(3x2−4x+1+5cos⁡(2x)) dx=x3−4ln⁡∣x+1∣+52sin⁡(2x)+C\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C

คำตอบนี้ใช้ได้บนช่วงที่ x≠−1x \ne -1 เพราะฟังก์ชันเดิมไม่นิยามที่ x=−1x=-1

วิธีตรวจที่เร็วที่สุดคือหาอนุพันธ์:

ddx(x3−4ln⁡∣x+1∣+52sin⁡(2x))=3x2−4x+1+5cos⁡(2x)\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)

ผลลัพธ์กลับไปเป็นฟังก์ชันเดิม จึงสอดคล้องกับปฏิยานุพันธ์ที่หาได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเมื่อใช้ตารางปริพันธ์

  • จับคู่รูปแบบผิด ถ้าฟังก์ชันเป็นผลคูณอย่าง xexxe^x หรือเป็นฟังก์ชันประกอบอย่าง cos⁡(x2)\cos(x^2) การเปิดตารางโดยตรงมักยังไม่พอ
  • ลืมตัวคูณปรับสเกล เช่น ∫cos⁡(2x) dx=12sin⁡(2x)+C\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C ไม่ใช่แค่ sin⁡(2x)+C\sin(2x) + C
  • ใช้กฎยกกำลังกับ 1x\frac{1}{x} กรณีนี้เป็นลอการิทึม ไม่ใช่กำลังอีกกรณีหนึ่ง
  • ลืม +C+C ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตแทนตระกูลของปฏิยานุพันธ์ ไม่ใช่ฟังก์ชันเดียว

เมื่อไรตารางปริพันธ์เพียงพอ

ตารางปริพันธ์เพียงพอเมื่อฟังก์ชันที่ต้องอินทิเกรตอยู่ในรูปมาตรฐานอยู่แล้ว หรือสามารถแยกเป็นส่วนมาตรฐานได้โดยดึงค่าคงที่ออกมาก่อน

แต่จะไม่เพียงพอเมื่อโครงสร้างของนิพจน์เป็นผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันซ้อนที่ไม่ตรงกับรายการในตารางโดยตรง ในกรณีเหล่านั้น ตารางก็ยังมีประโยชน์ เพราะช่วยบอกว่าคุณกำลังพยายามเปลี่ยนรูปให้ไปถึงรูปแบบใดหลังจากจัดรูปหรือแทนค่า

ลองทำปริพันธ์ที่คล้ายกัน

ลองทำ

∫(4x3+6x−2−3e5x) dx\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx

ก่อนคำนวณ ให้บอกว่าสูตรใดตรงกับแต่ละพจน์ และสังเกตว่ามีตัวคูณค่าคงที่ปรากฏตรงไหน จากนั้นหาอนุพันธ์ของคำตอบเพื่อตรวจสอบ

ต้องการความช่วยเหลือในการแก้โจทย์?

อัปโหลดคำถามของคุณแล้วรับคำตอบแบบทีละขั้นตอนที่ผ่านการตรวจสอบในไม่กี่วินาที

เปิด GPAI Solver →