Sustitución u en integración

La sustitución u es el método estándar de integración para expresiones como $\int f(g(x))g'(x)\,dx$. Se elige la expresión interna como $u$, se reemplaza la parte correspondiente de la derivada por $du$ y se transforma la integral en algo más simple.

Úsala cuando una función esté claramente dentro de otra y la derivada de la expresión interna también aparezca, exactamente o salvo un factor constante distinto de cero.

Qué significa la sustitución u

El patrón es:

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx$$

Si haces $u = g(x)$, entonces $du = g'(x)\,dx$, así que la integral se convierte en

$$\int f(u)\,du$$

Esa es toda la idea. Una expresión interna complicada se convierte en una sola variable, así que la primitiva es más fácil de reconocer.

Cómo detectar cuándo funciona la sustitución u

La sustitución u funciona mejor cuando el integrando tiene una estructura compuesta clara. En lenguaje sencillo, una función está dentro de otra y también aparece alguna versión de la derivada de la expresión interna.

Los patrones comunes incluyen potencias como $(x^2+1)^5$, radicales como $\sqrt{3x-2}$, exponenciales como $e^{x^2}$ y expresiones trigonométricas como $\cos(x^3)$.

Si la derivada de la expresión interna falta por completo, la sustitución puede no ayudar. Si solo difiere por un factor constante distinto de cero, muchas veces puedes corregirlo metiendo o sacando primero esa constante.

Ejemplo resuelto: $\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$

Calcula

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx$$

El denominador tiene una expresión interna $x^2+1$, y su derivada es $2x$. El numerador es solo la mitad de eso, lo cual sigue siendo suficiente para usar sustitución.

Sea

$$u = x^2 + 1$$

Entonces

$$du = 2x\,dx$$

así que

$$x\,dx = \frac{1}{2}du$$

Reescribe la integral:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du$$

Ahora integra:

$$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C$$

Sustituye de nuevo:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$$

Como $x^2+1 > 0$ para todo número real $x$, aquí está bien escribir $\ln(x^2+1)$.

Por qué tiene sentido la sustitución u

La derivación mediante la regla de la cadena dice que una función externa adquiere un factor procedente de la derivada interna. La sustitución u recorre esa idea en sentido inverso. Agrupa la expresión interna en un solo símbolo y trata la parte de la derivada como el diferencial correspondiente.

Por eso este método no es una simple búsqueda aleatoria de patrones. Es una forma estructurada de deshacer la regla de la cadena.

Errores comunes en la sustitución u

1. Elegir $u$ sin comprobar si su derivada también aparece. Si la derivada correspondiente no está, la sustitución puede no simplificar nada.
2. Olvidar el ajuste del factor constante. En el ejemplo anterior, usar $du = 2x\,dx$ pero ignorar el $\frac{1}{2}$ da una respuesta incorrecta.
3. Mezclar variables después de sustituir. Una vez que reescribes en términos de $u$, la integral debe quedar completamente en $u$ hasta que sustituyas de nuevo.
4. Olvidar el $+C$ en una integral indefinida.
5. Mantener la variable como $u$ en una integral definida pero seguir usando los límites antiguos en $x$. Si integras en $u$, los límites también deben cambiar a valores de $u$.

Sustitución u en integrales definidas

En una integral definida, puedes manejar el último paso de dos maneras correctas.

Una opción es sustituir de nuevo a $x$ y usar los límites originales. La otra es mantener la respuesta en $u$ y cambiar los límites de inmediato.

Por ejemplo, si

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$$

y haces $u=x^2$, entonces los nuevos límites son $u=0$ y $u=1$, así que

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^1 \cos u\,du = \sin 1$$

La condición importante es la consistencia: no mezcles $u$ con límites en $x$.

Dónde se usa la sustitución u

La sustitución u es una de las primeras técnicas importantes de integración en cálculo porque muchas primitivas no coinciden directamente con una fórmula hasta que reescribes la expresión.

Aparece en cursos básicos de cálculo, ecuaciones diferenciales, probabilidad, física e ingeniería siempre que una cantidad se construye de forma natural a partir de una expresión interna y su tasa de cambio.

Prueba un problema similar de sustitución u

Intenta resolver

$$\int (3x^2)\,e^{x^3}\,dx$$

antes de consultar nada. Si eliges $u=x^3$, la integral debería simplificarse rápidamente. Cuando termines, comprueba si tu respuesta final volvió a estar en $x$ y si mantuviste correctamente el factor constante.