Formule di integrazione — Tabella completa degli integrali

Una tabella degli integrali è un elenco di primitive standard. Si usa quando l’integrando corrisponde già a una forma nota come $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ oppure una funzione trigonometrica di base.

Nessuna tabella finita è letteralmente completa per ogni possibile integrale. In pratica, una "tabella completa degli integrali" indica le formule standard che gli studenti usano più spesso, insieme a un po’ di giudizio per capire quando un esercizio non corrisponde alla tabella.

A cosa serve una tabella degli integrali

La tabella è soprattutto uno strumento di riconoscimento di forme. Se l’espressione è già in una forma standard, puoi integrare direttamente. Se non lo è, la tabella ti aiuta a capire che probabilmente serve un altro metodo, come la sostituzione $u$ o l’integrazione per parti.

Per gli integrali indefiniti, l’obiettivo è trovare una funzione $F(x)$ tale che

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

dove $F'(x) = f(x)$. La costante $C$ è necessaria perché la derivata di una costante è zero.

Tabella base degli integrali da conoscere

Queste sono le formule a cui di solito ci si riferisce quando si chiede una tabella degli integrali.

Tipo	Formula	Condizione
Regola di potenza	\int x^n\,dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Caso logaritmico	$\int \frac{1}{x},dx = \ln	x
Esponenziale naturale	$\int e^x\,dx = e^x + C$	nessuna
Esponenziale in base $a$	$\int a^x\,dx = \frac\{a^x\}\{\ln a\} + C$	$a > 0$, $a \ne 1$
Seno	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$	nessuna
Coseno	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$	nessuna
Secante al quadrato	$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$	dove definita
Cosecante al quadrato	$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$	dove definita
Quadratica reciproca	$\int \frac\{1\}\{1+x^2\}\,dx = \arctan x + C$	nessuna
Forma dell’arcoseno	\int \frac\{1\}\{\sqrt\{1-x^2\}}\,dx = \arcsin x + C	valida su intervalli con $

La regola di linearità è importante quanto ogni singola formula:

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Questo ti permette di separare le somme e portare fuori le costanti. In generale, non ti permette invece di separare un prodotto.

Formule comuni con $ax$ o $ax+b$

Una formula di base ricompare spesso con $ax$ o $ax+b$ al suo interno. Se $a \ne 0$, questi sono risultati diretti molto comuni:

Tipo	Formula	Condizione
Potenza con termine interno lineare	\int (ax+b)^n\,dx = \frac\{(ax+b)^\{n+1\}}\{a(n+1)\} + C	$a \ne 0$, $n \ne -1$
Forma logaritmica con termine interno lineare	$\int \frac{1}{ax+b},dx = \frac{1}{a}\ln	ax+b
Esponenziale con esponente lineare	$\int e^\{ax\}\,dx = \frac\{1\}\{a\}e^\{ax\} + C$	$a \ne 0$
Seno con argomento lineare	$\int \sin(ax)\,dx = -\frac\{1\}\{a\}\cos(ax) + C$	$a \ne 0$
Coseno con argomento lineare	$\int \cos(ax)\,dx = \frac\{1\}\{a\}\sin(ax) + C$	$a \ne 0$

Non sono idee nuove. Sono le stesse primitive standard con un aggiustamento dovuto a un fattore costante.

L’eccezione alla regola di potenza: $\frac{1}{x}$

La regola di potenza non funziona per $n=-1$. In quel caso si ottiene

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Se provi a forzare la regola di potenza, il denominatore diventa $n+1=0$, cosa non ammessa. Questa è l’eccezione standard che conviene memorizzare fin dall’inizio.

Esempio svolto: usare la tabella passo dopo passo

Calcola

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx$$

Ogni termine corrisponde a una forma standard, anche se non sempre alla più semplice tra quelle di base.

Usa la linearità per separare l’integrale:

$$\int 3x^2\,dx - 4\int \frac{1}{x+1}\,dx + 5\int \cos(2x)\,dx$$

Per il primo termine, usa la regola di potenza:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Per il secondo termine, usa la forma logaritmica con espressione lineare interna. Poiché il denominatore è $x+1$, qui $a=1$, quindi

$$-4\int \frac{1}{x+1}\,dx = -4\ln|x+1|$$

Per il terzo termine, usa la formula del coseno con argomento lineare:

$$5\int \cos(2x)\,dx = \frac{5}{2}\sin(2x)$$

Combina i risultati:

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x) + C$$

Questa risposta è valida sugli intervalli in cui $x \ne -1$, perché l’integrando originale non è definito in $x=-1$.

Il controllo più rapido è derivare:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x+1| + \frac{5}{2}\sin(2x)\right) = 3x^2 - \frac{4}{x+1} + 5\cos(2x)$$

Così torni all’integrando iniziale, quindi la primitiva è coerente.

Errori comuni quando si usa una tabella degli integrali

• Riconoscere la forma sbagliata. Se l’integrando è un prodotto come $xe^x$ oppure una composizione come $\cos(x^2)$, una consultazione diretta della tabella di solito non basta.
• Dimenticare il fattore di scala. Per esempio, $\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, non semplicemente $\sin(2x) + C$.
• Usare la regola di potenza su $\frac{1}{x}$. Quel caso è logaritmico, non un’altra potenza.
• Dimenticare il $+C$. Un integrale indefinito rappresenta una famiglia di primitive, non una singola funzione.

Quando basta una tabella degli integrali

Una tabella degli integrali basta quando l’integrando è già in forma standard oppure può essere separato in parti standard portando fuori le costanti.

Non basta quando la struttura contiene un prodotto, un quoziente o un’espressione annidata che non corrisponde direttamente a una formula della tabella. In questi casi, la tabella resta comunque utile perché ti dice quale forma stai cercando di ottenere dopo una riscrittura o una sostituzione.

Prova un integrale simile

Prova

$$\int \left(4x^3 + \frac{6}{x-2} - 3e^{5x}\right)\,dx$$

Prima di calcolare, indica la formula corrispondente per ogni termine e nota dove compare un fattore costante. Poi deriva il tuo risultato per verificarlo.