Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις — Τύποι & Γραφήματα

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις επιστρέφουν μια γωνία από μια τριγωνομετρική τιμή. Στην πράξη, τα $\arcsin x$, $\arccos x$ και $\arctan x$ επιστρέφουν το καθένα μία τυπική γωνία, που λέγεται κύρια τιμή, και όχι κάθε γωνία που λειτουργεί.

Αυτός ο περιορισμός είναι ουσιαστικός. Το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη επαναλαμβάνουν τιμές στα πλήρη γραφήματά τους, οπότε έχουν αντίστροφη συνάρτηση μόνο αφού τα περιορίσουμε σε διαστήματα όπου κάθε έξοδος προέρχεται από ακριβώς μία γωνία.

Τι σημαίνουν τα $\arcsin x$, $\arccos x$ και $\arctan x$

Οι παρακάτω ορισμοί δείχνουν τόσο τη τριγωνομετρική σχέση όσο και το επιτρεπτό σύνολο τιμών εξόδου:

$$\arcsin x = y \quad \text{σημαίνει ότι} \quad \sin y = x \text{ και } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{σημαίνει ότι} \quad \cos y = x \text{ και } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{σημαίνει ότι} \quad \tan y = x \text{ και } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Αυτές οι συνθήκες στα διαστήματα δεν είναι μια επιπλέον λεπτομέρεια. Είναι αυτό που κάνει την αντίστροφη συνάρτηση μονοτιμή.

Πεδία ορισμού και σύνολα τιμών που πραγματικά χρειάζεσαι

Για τις τρεις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούν πιο συχνά οι μαθητές:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Διάβασε κάθε γραμμή πρώτα ως είσοδο και μετά ως έξοδο. Για παράδειγμα, το $\arcsin x$ δέχεται μόνο $-1 \le x \le 1$, επειδή το ημίτονο δεν παίρνει ποτέ τιμή έξω από αυτό το διάστημα.

Πώς λειτουργούν τα γραφήματα των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Τα γραφήματα των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία $y = x$, αλλά μόνο αφού η αρχική τριγωνομετρική συνάρτηση περιοριστεί σε ένα διάστημα όπου είναι 1-1.

Για παράδειγμα, το $y = \arcsin x$ είναι το συμμετρικό του περιορισμένου γραφήματος του ημιτόνου

$$y = \sin x \quad \text{για} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

ως προς την ευθεία $y = x$.

Η ίδια ιδέα δίνει τα εξής αντίστοιχα ζεύγη:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{για} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{για} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Μην κάνεις συμμετρία του πλήρους επαναλαμβανόμενου γραφήματος του ημιτόνου, του συνημιτόνου ή της εφαπτομένης. Το πλήρες γράφημα δεν περνά το οριζόντιο κριτήριο ευθείας, άρα δεν μπορεί να έχει αντίστροφη συνάρτηση.

Ένα λυμένο παράδειγμα με κύριο σύνολο τιμών

Υπολόγισε

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Θέλουμε τη γωνία $y$ ώστε $\cos y = -\frac{1}{2}$. Πολλές γωνίες λειτουργούν, αλλά το $\arccos x$ πρέπει να επιστρέψει τη γωνία στο κύριο σύνολο τιμών

$$0 \le y \le \pi$$

Μέσα σε αυτό το διάστημα, η σωστή γωνία είναι $y = \frac{2\pi}{3}$, άρα

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Αυτή είναι η βασική συνήθεια που πρέπει να αποκτήσεις: μη ζητάς οποιαδήποτε γωνία λειτουργεί. Ζήτα τη γωνία που ανήκει στο σωστό διάστημα.

Συχνά λάθη στις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Το πιο συχνό λάθος είναι η σύγχυση της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης με την αντίστροφη ως προς τον πολλαπλασιασμό τριγωνομετρική συνάρτηση. Το $\arcsin x$ δεν είναι το ίδιο με το $\csc x$, και το $\sin^{-1} x$ συνήθως σημαίνει αντίστροφο ημίτονο, όχι $1/\sin x$.

Ένα άλλο συχνό λάθος είναι η αγνόηση του κύριου συνόλου τιμών. Για παράδειγμα, $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, αλλά

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

επειδή το $\frac{\pi}{6}$ είναι η γωνία που ανήκει στο επιτρεπτό σύνολο τιμών του $\arcsin x$.

Οι μαθητές επίσης μερικές φορές ξεχνούν το πεδίο ορισμού. Παραστάσεις όπως $\arcsin 2$ και $\arccos(-3)$ δεν έχουν πραγματική τιμή, επειδή το ημίτονο και το συνημίτονο δεν δίνουν εξόδους έξω από το $[-1,1]$.

Πότε χρησιμοποιούνται οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις εμφανίζονται κάθε φορά που γνωρίζεις έναν λόγο και χρειάζεσαι πίσω τη γωνία. Αυτό συμβαίνει στη γεωμετρία ορθογωνίων τριγώνων, στη ναυσιπλοΐα, σε προβλήματα κλίσης και κατεύθυνσης, σε συνιστώσες διανυσμάτων και σε μοντελοποίηση με τρίγωνα.

Είναι επίσης σημαντικές στον λογισμό. Τις συναντάς σε παραγώγους, σε αόριστα ολοκληρώματα όπως $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$, και σε αντικαταστάσεις που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές παραστάσεις.

Ένας τρόπος 2 βημάτων για να τις σκέφτεσαι

Όταν υπολογίζεις μια παράσταση με αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση, κάνε αυτούς τους δύο ελέγχους:

1. Ποια τριγωνομετρική συνάρτηση ταιριάζει με την τιμή που μου δόθηκε;
2. Ποια είναι η γωνία στο κύριο σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης;

Αν κρατάς μαζί αυτούς τους δύο ελέγχους, οι τύποι και τα γραφήματα γίνονται πολύ πιο εύκολα στην κατανόηση.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Δοκίμασε να υπολογίσεις τα $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ και $\arctan(1)$. Αν επιλέξεις πρώτα το κύριο σύνολο τιμών, και οι δύο απαντήσεις προκύπτουν γρήγορα.