Τριγωνομετρικές ταυτότητες: βασική λίστα, ιδέες αποδείξεων και παράδειγμα

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι τύποι που περιλαμβάνουν τις $\sin$, $\cos$, $\tan$ και συναφείς συναρτήσεις και είναι αληθείς για κάθε γωνία όπου ορίζονται και τα δύο μέλη. Αν ψάχνεις τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες που χρησιμοποιούνται στην άλγεβρα, στην προανάλυση και στα πρώτα μαθήματα ανάλυσης, η κύρια λίστα περιλαμβάνει τις αντίστροφες, τις ταυτότητες πηλίκου, τις πυθαγόρειες, τις άρτιες-περιττές, τις συμπληρωματικών γωνιών, τις ταυτότητες αθροίσματος-διαφοράς, διπλής γωνίας και ημιγωνίας.

Ο πιο γρήγορος τρόπος να τις θυμάσαι είναι να τις ομαδοποιείς ανάλογα με τον σκοπό τους. Κάποιες ξαναγράφουν μία τριγωνομετρική συνάρτηση με βάση μια άλλη, κάποιες συνδέουν τα $\sin \theta$ και $\cos \theta$, και κάποιες αλλάζουν τη γωνία από $\theta$ σε $2\theta$ ή $\theta/2$.

Τι κάνει μια εξίσωση τριγωνομετρική ταυτότητα;

Μια ταυτότητα είναι αληθής για κάθε γωνία στο πεδίο ορισμού της. Για παράδειγμα,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

είναι ταυτότητα, επειδή ισχύει για κάθε $\theta$.

Αντίθετα,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

δεν είναι ταυτότητα. Είναι αληθής μόνο για συγκεκριμένες γωνίες.

Η συνθήκη του πεδίου ορισμού έχει σημασία. Για παράδειγμα,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

ισχύει μόνο όταν $\cos \theta \neq 0$.

Λίστα βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων

Αντίστροφες ταυτότητες

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Κάθε τύπος απαιτεί ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός.

Ταυτότητες πηλίκου

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Αυτές είναι συχνά το πρώτο βήμα σε ασκήσεις απλοποίησης, επειδή ξαναγράφουν τα πάντα με όρους των $\sin$ και $\cos$.

Πυθαγόρειες ταυτότητες

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Η πρώτη ταυτότητα είναι η πηγή των άλλων δύο.

Άρτιες-περιττές ταυτότητες

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Το ίδιο μοτίβο επεκτείνεται και στις αντίστροφες συναρτήσεις: οι $\csc$ και $\cot$ είναι περιττές, ενώ η $\sec$ είναι άρτια.

Ταυτότητες συμπληρωματικών γωνιών

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Αυτές προκύπτουν από τις συμπληρωματικές γωνίες.

Ταυτότητες αθροίσματος και διαφοράς

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Για τους τύπους της εφαπτομένης, ο παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός.

Ταυτότητες διπλής γωνίας

Θέσε $\alpha = \beta = \theta$ στους τύπους αθροίσματος γωνιών.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Η εκδοχή για την εφαπτομένη απαιτεί επίσης $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Ταυτότητες ημιγωνίας

Αυτές προκύπτουν από αναδιάταξη των τύπων διπλής γωνίας.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Για μια γωνία γραμμένη ως $\theta/2$, οι μορφές με τετραγωνική ρίζα είναι

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο του $\theta/2$, οπότε το $\pm$ δεν μπορεί να παραλειφθεί μηχανικά.

Από πού προκύπτουν οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Ο μοναδιαίος κύκλος δίνει την πρώτη πυθαγόρεια ταυτότητα

Στον μοναδιαίο κύκλο, το σημείο στη γωνία $\theta$ είναι $(\cos \theta, \sin \theta)$. Επειδή κάθε σημείο αυτού του κύκλου ικανοποιεί τη σχέση $x^2 + y^2 = 1$, αν αντικαταστήσουμε $x = \cos \theta$ και $y = \sin \theta$, παίρνουμε

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Αυτή είναι η βασική πυθαγόρεια ταυτότητα.

Οι άλλες πυθαγόρειες ταυτότητες προκύπτουν με διαίρεση

Αν $\cos \theta \neq 0$, διαιρούμε την

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

με $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Αν $\sin \theta \neq 0$, η διαίρεση με $\sin^2 \theta$ δίνει

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Οι ταυτότητες διπλής γωνίας προκύπτουν από τους τύπους αθροίσματος γωνιών

Ξεκίνα με

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

και θέσε $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Οι ταυτότητες διπλής γωνίας για το συνημίτονο και την εφαπτομένη προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο.

Λυμένο παράδειγμα: απλοποίηση παράστασης διπλής γωνίας

Απλοποίησε την

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

για γωνίες όπου ορίζεται η αρχική παράσταση.

Χρησιμοποίησε τις ταυτότητες διπλής γωνίας:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

και

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Τώρα κάνε αντικατάσταση:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Αυτό το συμπέρασμα είναι έγκυρο μόνο όπου ο αρχικός παρονομαστής δεν είναι μηδέν, άρα $\sin(2\theta) \neq 0$. Αυτή η συνθήκη έχει σημασία, επειδή η απλοποίηση ενός κοινού παράγοντα μπορεί να κρύψει τιμές που είχαν αποκλειστεί από την αρχή.

Συνηθισμένα λάθη με τις τριγωνομετρικές ταυτότητες

Η παράβλεψη των περιορισμών του πεδίου ορισμού είναι το λάθος που δημιουργεί τα περισσότερα προβλήματα. Η διαίρεση με $\sin \theta$ ή $\cos \theta$ είναι έγκυρη μόνο όταν αυτή η ποσότητα δεν είναι μηδέν.

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η παράλειψη του $\pm$ στους τύπους ημιγωνίας. Η τετραγωνική ρίζα από μόνη της δεν καθορίζει το πρόσημο της τριγωνομετρικής τιμής.

Οι μαθητές επίσης μπερδεύουν το $\sin^2 \theta$ με το $\sin(\theta^2)$. Ο συμβολισμός $\sin^2 \theta$ σημαίνει $(\sin \theta)^2$.

Πότε χρησιμοποιούνται οι τριγωνομετρικές ταυτότητες

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες εμφανίζονται κάθε φορά που χρειάζεται να ξαναγράψεις μια παράσταση σε πιο χρήσιμη μορφή. Αυτό περιλαμβάνει την απλοποίηση ασκήσεων, την απόδειξη ότι δύο παραστάσεις είναι ίσες, τη λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων και την προετοιμασία για θέματα ανάλυσης όπως το ολοκλήρωμα.

Στην πράξη, πολλά προβλήματα γίνονται ευκολότερα όταν όλα ξαναγράφονται με όρους των $\sin \theta$ και $\cos \theta$.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Απλοποίησε την

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

χρησιμοποιώντας ταυτότητες διπλής γωνίας και έχοντας υπόψη τη συνθήκη πεδίου ορισμού της αρχικής παράστασης. Αν θέλεις ένα ακόμη βήμα μετά, σύγκρινε το αποτέλεσμά σου με την $\tan \theta$.