Γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων — ημ, συν, εφ και μετασχηματισμοί

Τα τριγωνομετρικά γραφήματα δείχνουν πώς μεταβάλλονται οι $\sin x$, $\cos x$ και $\tan x$ καθώς μεταβάλλεται το $x$. Ο γρήγορος τρόπος να τα διαβάζεις είναι απλός: το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικά κύματα, η εφαπτομένη επαναλαμβάνεται σε κλάδους με κατακόρυφες ασύμπτωτες, και οι μετασχηματισμοί δείχνουν το ύψος, το πλάτος, τη μετατόπιση και την ανάκλαση του βασικού γραφήματος.

Αν σχεδιάζεις από εξίσωση, ξεκίνα με τέσσερις ερωτήσεις: Ποια είναι η βασική συνάρτηση; Ποια είναι η περίοδος; Πού βρίσκεται η μεσαία ευθεία ή η κεντρική γραμμή; Έχει μετατοπιστεί ή ανακλαστεί το γράφημα;

Πώς Μοιάζουν Τα Γραφήματα Ημιτόνου, Συνημιτόνου Και Εφαπτομένης

Το βασικό γράφημα του ημιτόνου, $y=\sin x$, περνά από την αρχή των αξόνων και επαναλαμβάνεται κάθε $2\pi$ όταν το $x$ μετριέται σε ακτίνια. Το βασικό γράφημα του συνημιτόνου, $y=\cos x$, έχει το ίδιο κυματοειδές σχήμα και την ίδια περίοδο, αλλά ξεκινά από τη μέγιστη τιμή του όταν $x=0$.

Το βασικό γράφημα της εφαπτομένης, $y=\tan x$, συμπεριφέρεται διαφορετικά. Επαναλαμβάνεται κάθε $\pi$, περνά από την αρχή των αξόνων και έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες όπου $\cos x = 0$. Επειδή η εφαπτομένη δεν είναι φραγμένη, δεν έχει πλάτος.

Αν στην τάξη σου οι γωνίες μετρώνται σε μοίρες αντί για ακτίνια, οι βασικές περίοδοι είναι $360^\circ$ για το ημίτονο και το συνημίτονο, και $180^\circ$ για την εφαπτομένη.

Πώς Το Πλάτος, Η Περίοδος Και Οι Μετατοπίσεις Αλλάζουν Το Γράφημα

Για το ημίτονο και το συνημίτονο, μια συνηθισμένη μορφή για τη γραφική παράσταση είναι

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

ή

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

Αν το $x$ είναι σε ακτίνια, τότε:

• πλάτος $= |a|$
• περίοδος $= \frac{2\pi}{|b|}$
• οριζόντια μετατόπιση $= h$
• κατακόρυφη μετατόπιση $= k$
• μεσαία ευθεία $= y=k$

Αν $a<0$, το γράφημα ανακλάται ως προς τη μεσαία ευθεία του. Αν $b<0$, το γράφημα ανακλάται οριζόντια. Σε πολλά σχολικά σκαριφήματα, το βασικό είναι και πάλι να βρεις σωστά την περίοδο, τη μετατόπιση και τα βασικά σημεία.

Για την εφαπτομένη, η συνηθισμένη μορφή είναι

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

και, αν το $x$ είναι σε ακτίνια,

• περίοδος $= \frac{\pi}{|b|}$
• οριζόντια μετατόπιση $= h$
• κατακόρυφη μετατόπιση $= k$

Υπάρχει και κατακόρυφος συντελεστής τάνυσης από το $a$, αλλά δεν λέγεται πλάτος, επειδή η εφαπτομένη δεν έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.

Τι Σημαίνουν Το Πλάτος Και Η Περίοδος

Το πλάτος δείχνει πόσο πάνω και κάτω από τη μεσαία ευθεία κινείται το γράφημα του ημιτόνου ή του συνημιτόνου. Αν το πλάτος είναι $3$, το γράφημα ανεβαίνει $3$ μονάδες πάνω από τη μεσαία ευθεία και κατεβαίνει $3$ μονάδες κάτω από αυτήν.

Η περίοδος δείχνει πόσο προχωρά το γράφημα κατά μήκος του άξονα $x$ για να ολοκληρώσει μία πλήρη επανάληψη. Μικρότερη περίοδος σημαίνει ότι το γράφημα συμπιέζεται οριζόντια. Μεγαλύτερη περίοδος σημαίνει ότι απλώνεται περισσότερο.

Αυτό είναι το βασικό μοτίβο που πρέπει να θυμάσαι: τα $a$ και $k$ ελέγχουν την κατακόρυφη συμπεριφορά, ενώ τα $b$ και $h$ ελέγχουν την οριζόντια συμπεριφορά.

Λυμένο Παράδειγμα: Γράφημα της $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$

Ξεκίνα από το βασικό γράφημα $y=\sin x$.

Τώρα διάβασε κάθε μετασχηματισμό:

• $a=-2$, άρα το πλάτος είναι $2$ και το γράφημα ανακλάται ως προς τη μεσαία ευθεία.
• $b=1$, άρα η περίοδος παραμένει $2\pi$.
• $h=\frac{\pi}{3}$, άρα το γράφημα μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά $\frac{\pi}{3}$.
• $k=1$, άρα η μεσαία ευθεία είναι η $y=1$.

Άρα το γράφημα ταλαντώνεται γύρω από την $y=1$, φτάνει σε μέγιστο στο $y=3$, φτάνει σε ελάχιστο στο $y=-1$ και ολοκληρώνει έναν κύκλο σε πλάτος $2\pi$.

Για ένα γρήγορο σκαρίφημα, χρησιμοποίησε τις πέντε τυπικές τιμές εισόδου του ημιτόνου σε έναν κύκλο και εφάρμοσε τους μετασχηματισμούς. Τα βασικά σημεία γίνονται

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

Αυτά τα σημεία δείχνουν όλο το σχήμα: ξεκίνα από τη μεσαία ευθεία, κινήσου πρώτα προς τα κάτω λόγω της ανάκλασης, επέστρεψε στη μεσαία ευθεία, ανέβα στην κορυφή και γύρισε ξανά στη μεσαία ευθεία.

Αυτή είναι η συνήθεια που εξοικονομεί τον περισσότερο χρόνο: μετασχημάτισε το βασικό γράφημα αντί να ξαναχτίζεις το γράφημα από την αρχή.

Πώς Λειτουργούν Τα Μετασχηματισμένα Γραφήματα Εφαπτομένης

Η εφαπτομένη χρειάζεται διαφορετικό τρόπο σκέψης, επειδή το γράφημα χτίζεται γύρω από ασύμπτωτες και όχι γύρω από κορυφές και κοιλάδες.

Για το βασικό γράφημα $y=\tan x$, οι κατακόρυφες ασύμπτωτες είναι στα

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

για ακέραιους $n$, και τα μηδενικά είναι στα

$$x = n\pi$$

Για ένα μετασχηματισμένο γράφημα $y=a\tan(b(x-h))+k$, οι ασύμπτωτες εμφανίζονται όταν

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

οπότε η μεταξύ τους απόσταση είναι $\frac{\pi}{|b|}$ σε ακτίνια. Στο $y=\tan(2x)$, αυτή η απόσταση γίνεται $\frac{\pi}{2}$, άρα οι κλάδοι επαναλαμβάνονται δύο φορές πιο συχνά. Αυτή η απόσταση είναι πιο σημαντική από το να προσπαθείς να σκεφτείς με όρους πλάτους.

Συνηθισμένα Λάθη Στα Τριγωνομετρικά Γραφήματα

Να Λες Το Τέντωμα Της Εφαπτομένης "Πλάτος"

Το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν μέγιστη και ελάχιστη απόσταση από τη μεσαία ευθεία, οπότε το πλάτος έχει νόημα. Η εφαπτομένη δεν σταθεροποιείται, άρα δεν έχει πλάτος.

Λάθος Πρόσημο Στην Οριζόντια Μετατόπιση

Στο $y=\sin(x-2)$, το γράφημα μετατοπίζεται προς τα δεξιά κατά $2$, όχι προς τα αριστερά. Το πρόσημο μέσα στην παρένθεση συχνά φαίνεται ανάποδο στην αρχή.

Μπέρδεμα Στον Τύπο Της Περιόδου

Αν το γράφημα γράφεται με έναν παράγοντα $b$ μέσα στο όρισμα, η περίοδος διαιρείται με $|b|$. Για το ημίτονο και το συνημίτονο αυτό σημαίνει $\frac{2\pi}{|b|}$ σε ακτίνια. Για την εφαπτομένη σημαίνει $\frac{\pi}{|b|}$.

Να Ξεχνάς Αν Ο Άξονας Χρησιμοποιεί Ακτίνια Ή Μοίρες

Οι παραπάνω τύποι χρησιμοποιούν ακτίνια. Αν ένα μάθημα ή ένα γράφημα χρησιμοποιεί μοίρες, αντικατάστησε το $2\pi$ με $360^\circ$ και το $\pi$ με $180^\circ$.

Πού Χρησιμοποιούνται Τα Τριγωνομετρικά Γραφήματα

Τα τριγωνομετρικά γραφήματα χρησιμοποιούνται κάθε φορά που ένα μοτίβο επαναλαμβάνεται. Στα σχολικά μαθηματικά, σε βοηθούν να κατανοήσεις μετασχηματισμούς, περιοδική συμπεριφορά και τη σύνδεση ανάμεσα στον μοναδιαίο κύκλο και τις συναρτήσεις. Έξω από αυτό το πλαίσιο, τα ίδια σχήματα εμφανίζονται σε κύματα, ήχο, εποχικούς κύκλους, περιστροφικά συστήματα και μοντέλα σημάτων.

Δεν χρειάζεσαι όλο αυτό το επιπλέον πλαίσιο για να διαβάσεις σωστά ένα γράφημα. Στα περισσότερα μαθήματα, η πρακτική δουλειά είναι να αναγνωρίσεις το βασικό σχήμα, να εντοπίσεις έναν κύκλο ή έναν κλάδο και να παρακολουθήσεις προσεκτικά τους μετασχηματισμούς.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Σχεδίασε το $y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$. Πρώτα εντόπισε το πλάτος, την περίοδο, τη μετατόπιση και τη μεσαία ευθεία πριν τοποθετήσεις οποιαδήποτε σημεία. Αν μπορείς να περιγράψεις το γράφημα με λόγια πριν το σχεδιάσεις, τότε οι μετασχηματισμοί αρχίζουν να σου γίνονται ξεκάθαροι.