Ημ, Συν, Εφ — Εξήγηση

Το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη συγκρίνουν μήκη πλευρών ως προς μία επιλεγμένη γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν καταλάβεις ποια πλευρά είναι η απέναντι, η προσκείμενη και η υποτείνουσα, οι τρεις αυτοί λόγοι γίνονται πολύ πιο εύχρηστοι.

Αν $\theta$ είναι οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο, τότε

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Αυτή είναι η ιδέα πίσω από το SOHCAHTOA. Το μνημονικό βοηθά, αλλά το βασικό σημείο είναι απλούστερο: κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση είναι ένας λόγος που συνδέεται με μία γωνία, όχι ιδιότητα μιας πλευράς από μόνη της.

Τι Σημαίνουν Το Ημ, Το Συν Και Η Εφ Σε Ένα Ορθογώνιο Τρίγωνο

Διάλεξε μία οξεία γωνία $\theta$ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

• Η απέναντι πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη $\theta$.
• Η προσκείμενη πλευρά είναι δίπλα στη $\theta$, αλλά δεν είναι η υποτείνουσα.
• Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά, απέναντι από την ορθή γωνία.

Μόλις σταθεροποιηθούν αυτές οι ονομασίες, οι τριγωνομετρικοί λόγοι δίνουν διαφορετικές συγκρίσεις.

• Το $\sin \theta$ συγκρίνει την απέναντι με την υποτείνουσα.
• Το $\cos \theta$ συγκρίνει την προσκείμενη με την υποτείνουσα.
• Το $\tan \theta$ συγκρίνει την απέναντι με την προσκείμενη.

Αν αλλάξεις και πάρεις την άλλη οξεία γωνία, τότε η απέναντι και η προσκείμενη αλλάζουν μεταξύ τους. Γι’ αυτό το ίδιο τρίγωνο δίνει διαφορετικές τιμές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης για τις δύο οξείες γωνίες του.

Ένα ακόμη χρήσιμο γεγονός: για σταθερή γωνία, αυτοί οι λόγοι παραμένουν ίδιοι ακόμη κι αν το τρίγωνο μεγαλώσει ή μικρύνει. Τα όμοια τρίγωνα διατηρούν τους ίδιους λόγους γωνιών.

Λυμένο Παράδειγμα Με Τρίγωνο 3-4-5

Έστω ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει πλευρές μήκους $3$, $4$ και $5$. Έστω ότι η $\theta$ είναι η οξεία γωνία απέναντι από την πλευρά μήκους $3$.

Τότε:

• απέναντι $= 3$
• προσκείμενη $= 4$
• υποτείνουσα $= 5$

Άρα

$$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει καθαρά το μοτίβο. Το ημίτονο και το συνημίτονο χρησιμοποιούν και τα δύο την υποτείνουσα. Η εφαπτομένη όχι· συγκρίνει τις δύο κάθετες πλευρές, γι’ αυτό είναι συχνά χρήσιμη όταν θέλεις να εκφράσεις την κλίση.

Πότε Να Χρησιμοποιείς Ημίτονο, Συνημίτονο Ή Εφαπτομένη

Χρησιμοποίησε αυτούς τους λόγους όταν ένα πρόβλημα συνδέει μια γωνία με μήκη πλευρών σε ορθογώνιο τρίγωνο.

• Χρησιμοποίησε το $\sin \theta$ όταν οι πλευρές που σε ενδιαφέρουν είναι η απέναντι και η υποτείνουσα.
• Χρησιμοποίησε το $\cos \theta$ όταν οι πλευρές που σε ενδιαφέρουν είναι η προσκείμενη και η υποτείνουσα.
• Χρησιμοποίησε το $\tan \theta$ όταν οι πλευρές που σε ενδιαφέρουν είναι η απέναντι και η προσκείμενη.

Αν γνωρίζεις μία πλευρά και μία οξεία γωνία, η τριγωνομετρία συχνά σου επιτρέπει να βρεις άλλη μία πλευρά. Αν γνωρίζεις λόγους πλευρών, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να βοηθήσουν να βρεθεί η γωνία.

Πώς Ο Μοναδιαίος Κύκλος Επεκτείνει Την Ίδια Ιδέα

Οι παραπάνω ορισμοί σε ορθογώνιο τρίγωνο εφαρμόζονται άμεσα σε οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου. Για γωνίες μεγαλύτερες από $90^\circ$, αρνητικές γωνίες ή πλήρεις περιστροφές, η τριγωνομετρία επεκτείνει τις ίδιες συναρτήσεις μέσω του μοναδιαίου κύκλου.

Στον μοναδιαίο κύκλο, το σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία $\theta$ είναι

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

και η εφαπτομένη παραμένει ο λόγος

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

όταν $\cos \theta \ne 0$.

Άρα, στον μοναδιαίο κύκλο, το συνημίτονο είναι η συντεταγμένη $x$ και το ημίτονο είναι η συντεταγμένη $y$. Γι’ αυτό τα ίδια τριγωνομετρικά ονόματα εξακολουθούν να ισχύουν ακόμη κι όταν δεν έχει σχεδιαστεί ορθογώνιο τρίγωνο.

Συνηθισμένα Λάθη Με Το Ημ, Το Συν Και Την Εφ

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να μπερδεύονται η απέναντι και η προσκείμενη πλευρά. Αυτές οι ονομασίες έχουν νόημα μόνο αφού πρώτα επιλέξεις τη γωνία.

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι να θεωρείται ότι το SOHCAHTOA καλύπτει κάθε τριγωνομετρικό πρόβλημα. Καλύπτει τον ορισμό στο ορθογώνιο τρίγωνο. Αν το πρόβλημα χρησιμοποιεί γενικές γωνίες, ο μοναδιαίος κύκλος είναι συνήθως το καλύτερο μοντέλο.

Οι μαθητές επίσης μερικές φορές ξεχνούν ότι η εφαπτομένη είναι λόγος και όχι μήκος πλευράς. Σε ένα τρίγωνο, συγκρίνει την κατακόρυφη μεταβολή με την οριζόντια μεταβολή.

Άλλο λάθος είναι η υπόθεση ότι η εφαπτομένη υπάρχει πάντα. Στην οπτική του μοναδιαίου κύκλου, το $\tan \theta$ δεν ορίζεται όταν $\cos \theta = 0$.

Πού Εμφανίζονται Το Ημίτονο, Το Συνημίτονο Και Η Εφαπτομένη

Εμφανίζονται ιδιαίτερα συχνά σε:

• προβλήματα ορθογωνίων τριγώνων
• κλίσεις και κατεύθυνση
• κυκλική κίνηση και κύματα
• αναλυτική γεωμετρία και τον μοναδιαίο κύκλο

Αν το πρόβλημα αφορά ορθογώνιο τρίγωνο, ξεκίνα με την οπτική των λόγων πλευρών. Αν αφορά γωνίες γύρω από έναν κύκλο, ξεκίνα με την οπτική του μοναδιαίου κύκλου.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Πάρε το ίδιο τρίγωνο $3$-$4$-$5$ και άλλαξε στην άλλη οξεία γωνία. Ξαναόρισε την απέναντι και την προσκείμενη πλευρά και μετά υπολόγισε ξανά τα $\sin \theta$, $\cos \theta$ και $\tan \theta$. Αυτός ο γρήγορος έλεγχος δείχνει γιατί οι τριγωνομετρικοί λόγοι εξαρτώνται από τη γωνία που επιλέγεις.