Ίσα τρίγωνα — SSS, SAS, ASA, AAS & HL

Ίσα τρίγωνα είναι τα τρίγωνα που έχουν το ίδιο μέγεθος και το ίδιο σχήμα. Στα περισσότερα προβλήματα Γεωμετρίας, αποδεικνύεις την ισότητα με ένα από τα πέντε κριτήρια: SSS, SAS, ASA, AAS ή HL. Πρέπει επίσης να ξέρεις ποιοι συνηθισμένοι σύντομοι τρόποι αποτυγχάνουν, ιδιαίτερα τα AAA και SSA.

Αν ένα τρίγωνο μπορεί να μετατοπιστεί, να περιστραφεί ή να ανακλαστεί έτσι ώστε να συμπέσει ακριβώς με το άλλο, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Η σειρά των κορυφών έχει σημασία, γιατί δείχνει ποια στοιχεία αντιστοιχούν.

Τι σημαίνει ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα

Αν $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, τότε τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Αυτό σημαίνει ότι

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

και

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

Η πρόταση $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ αντιστοιχίζει το $A$ με το $D$, το $B$ με το $E$ και το $C$ με το $F$. Αν γράψεις τα γράμματα με λάθος σειρά, μπορεί να αντιστοιχίσεις λάθος πλευρές και γωνίες.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων που ισχύουν

SSS: Πλευρά-Πλευρά-Πλευρά

Αν και τα τρία μήκη πλευρών είναι ίσα, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Τρία μήκη πλευρών καθορίζουν ένα μόνο τρίγωνο, μέχρι συμμετρία ως προς ανάκλαση.

SAS: Πλευρά-Γωνία-Πλευρά

Αν δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία τους είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Η κρίσιμη συνθήκη είναι η περιεχόμενη γωνία. Πρέπει να είναι η γωνία που σχηματίζεται από τις δύο γνωστές πλευρές.

ASA: Γωνία-Πλευρά-Γωνία

Αν δύο γωνίες και η περιεχόμενη πλευρά τους είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Μόλις καθοριστούν δύο γωνίες, καθορίζεται και η τρίτη. Η πλευρά καθορίζει το μέγεθος του τριγώνου.

AAS: Γωνία-Γωνία-Πλευρά

Αν δύο γωνίες και μία μη περιεχόμενη πλευρά είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Αυτό ισχύει για τον ίδιο λόγο όπως και το ASA: δύο γωνίες καθορίζουν το σχήμα και μία πλευρά καθορίζει το μέγεθος.

HL: Υποτείνουσα-Κάθετη πλευρά

Το HL ισχύει μόνο για ορθογώνια τρίγωνα. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την ίδια υποτείνουσα και μία αντίστοιχη ίση κάθετη πλευρά, τότε είναι ίσα.

Χωρίς τη συνθήκη της ορθής γωνίας, το HL δεν εφαρμόζεται.

Ένα λυμένο παράδειγμα SAS

Έστω ότι γνωρίζεις

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

και σε κάθε τρίγωνο η γνωστή γωνία βρίσκεται ανάμεσα στις δύο γνωστές πλευρές.

Αυτό αρκεί για το SAS:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Μετά από αυτό, κάθε αντίστοιχο στοιχείο είναι ίσο. Για παράδειγμα, $BC = EF$ και $\angle B = \angle E$.

Η βασική παρατήρηση είναι η θέση, όχι οι αριθμητικές τιμές. Η ίση γωνία βρίσκεται ανάμεσα στις ίσες πλευρές, άρα αυτό είναι SAS και όχι SSA.

Γιατί τα AAA και SSA δεν αρκούν

AAA

Το AAA δεν αποδεικνύει ισότητα. Αποδεικνύει μόνο ότι τα τρίγωνα είναι όμοια.

Για παράδειγμα, δύο ισόπλευρα τρίγωνα μπορεί και τα δύο να έχουν γωνίες $60^\circ$, $60^\circ$ και $60^\circ$, αλλά διαφορετικά μήκη πλευρών.

SSA

Το SSA δεν είναι γενικά έγκυρο κριτήριο ισότητας. Αν γνωρίζεις δύο πλευρές και μία μη περιεχόμενη γωνία, μπορεί να προκύπτουν περισσότερα από ένα τρίγωνα ή μερικές φορές κανένα τρίγωνο.

Γι’ αυτό το SSA λέγεται αμφίβολη περίπτωση. Η συνηθισμένη ειδική εξαίρεση είναι το HL, που λειτουργεί μόνο επειδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια.

Συνηθισμένα λάθη στην ισότητα τριγώνων

1. Χρήση του SAS όταν η γνωστή γωνία δεν βρίσκεται ανάμεσα στις δύο γνωστές πλευρές.
2. Χρήση του HL σε τρίγωνα που δεν αναφέρεται ή δεν φαίνεται ότι είναι ορθογώνια.
3. Η υπόθεση ότι το AAA αποδεικνύει ισότητα αντί για ομοιότητα.
4. Αντιστοίχιση λάθος κορυφών όταν γράφεις μια πρόταση ισότητας.

Πού χρησιμοποιούνται τα ίσα τρίγωνα

Τα ίσα τρίγωνα εμφανίζονται σε αποδείξεις Γεωμετρίας, σε προβλήματα κατασκευών, στην αναλυτική γεωμετρία και σε σχεδιαστικές εφαρμογές όπου τα ταιριαστά κομμάτια πρέπει να εφαρμόζουν ακριβώς.

Είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν ένα πρόβλημα δίνει μόνο λίγα μήκη ή γωνίες αλλά ζητά περισσότερα. Μόλις αποδείξεις την ισότητα, μπορείς να χρησιμοποιήσεις με βεβαιότητα και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία.

Δοκίμασε μια παρόμοια περίπτωση

Πάρε δύο ορθογώνια τρίγωνα με υποτείνουσα $10$ και μία κάθετη πλευρά $6$. Το HL αποδεικνύει ότι είναι ίσα μόνο αν και τα δύο τρίγωνα είναι ορθογώνια. Αν αφαιρέσεις αυτή τη συνθήκη, το επιχείρημα καταρρέει, και αυτός είναι ένας καλός τρόπος να θυμάσαι γιατί το HL είναι ειδική περίπτωση.