Τύπος απόστασης — μεταξύ δύο σημείων σε 2D και 3D

Ο τύπος απόστασης δίνει την ευθύγραμμη απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο ή στον τρισδιάστατο χώρο. Για σημεία $(x_1, y_1)$ και $(x_2, y_2)$ σε 2D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Για σημεία $(x_1, y_1, z_1)$ και $(x_2, y_2, z_2)$ σε 3D,

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Χρησιμοποίησε αυτόν τον τύπο όταν θέλεις το πραγματικό μήκος ανάμεσα σε δύο σημεία, όχι μόνο την οριζόντια ή την κατακόρυφη μεταβολή. Ισχύει σε τυπικές καρτεσιανές συντεταγμένες όταν κάθε άξονας χρησιμοποιεί την ίδια κλίμακα μονάδων.

Τύπος απόστασης σε 2D: τι μετρά

Ο τύπος συνδυάζει δύο κάθετες μεταβολές: πόσο μετακινείσαι στον άξονα $x$ και πόσο στον άξονα $y$. Αυτές οι μεταβολές σχηματίζουν τις κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, και η απόσταση ανάμεσα στα σημεία είναι η υποτείνουσα.

Γιατί λειτουργεί ο τύπος απόστασης

Στο επίπεδο, ο τύπος απόστασης προκύπτει άμεσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αν

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

και

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

τότε

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

άρα

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Άρα ο τύπος δεν είναι ένας ξεχωριστός κανόνας που πρέπει απλώς να απομνημονεύσεις. Είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα γραμμένο σε μορφή συντεταγμένων.

Στο 3D, προσθέτεις μία ακόμη κάθετη μεταβολή:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

Είναι η ίδια ιδέα επεκταμένη σε μία ακόμη διάσταση.

Λυμένο παράδειγμα: απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Βρες την απόσταση μεταξύ των σημείων $(1, 2)$ και $(5, 7)$.

Ξεκίνα με τον τύπο απόστασης σε 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Αντικατάστησε τις συντεταγμένες:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Απλοποίησε τις διαφορές:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Ύψωσε στο τετράγωνο και πρόσθεσε:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Άρα η ακριβής απόσταση είναι $\sqrt{41}$. Ως δεκαδικός αριθμός, $d \approx 6.4$.

Ένας γρήγορος έλεγχος βοηθά. Τα σημεία απέχουν $4$ μονάδες οριζόντια και $5$ μονάδες κατακόρυφα, άρα η ευθύγραμμη απόσταση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από $5$ αλλά μικρότερη από $9$. Το $\sqrt{41}$ ταιριάζει με αυτό.

Τύπος απόστασης σε 3D

Η διαδικασία είναι η ίδια, αλλά τώρα συμπεριλαμβάνεις και τη μεταβολή στο $z$.

Για παράδειγμα, μεταξύ των σημείων $(1, 2, 3)$ και $(5, 7, 6)$, οι μεταβολές των συντεταγμένων είναι $4$, $5$ και $3$, οπότε

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

Η μέθοδος δεν αλλάζει. Αφαιρείς τις αντίστοιχες συντεταγμένες, υψώνεις τις διαφορές στο τετράγωνο, τις προσθέτεις και παίρνεις τη θετική τετραγωνική ρίζα.

Συνηθισμένα λάθη με τον τύπο απόστασης

1. Ύψωση στο τετράγωνο πριν από την αφαίρεση. Ο τύπος χρησιμοποιεί $(x_2 - x_1)^2$, όχι $x_2^2 - x_1^2$.
2. Ξεχνάς την τετραγωνική ρίζα. Αν σταματήσεις αφού προσθέσεις τα τετράγωνα, βρήκες το $d^2$, όχι το $d$.
3. Μπέρδεμα αξόνων. Μια συντεταγμένη $x$ πρέπει να αντιστοιχιστεί με την άλλη συντεταγμένη $x$, και το ίδιο ισχύει για $y$ και $z$.
4. Χάνεις ένα αρνητικό πρόσημο κατά την αντικατάσταση. Για παράδειγμα, $-1 - 3 = -4$, όχι $4$.
5. Χρησιμοποιείς τον τύπο όταν το γράφημα δεν χρησιμοποιεί τυπική καρτεσιανή απόσταση. Αν οι άξονες έχουν διαφορετικές κλίμακες, η γεωμετρική απόσταση αλλάζει.

Πότε χρησιμοποιείς τον τύπο απόστασης

Χρησιμοποιείς τον τύπο απόστασης στην αναλυτική γεωμετρία κάθε φορά που δίνονται δύο σημεία και το πρόβλημα ζητά το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει.

Συνηθισμένες περιπτώσεις είναι η εύρεση μηκών πλευρών σε ένα γράφημα, ο έλεγχος αν ένα σημείο ανήκει σε κύκλο, η σύγκριση αποστάσεων από ένα κέντρο και η μέτρηση ευθύγραμμου διαχωρισμού στη γεωμετρία 3D.

Γρήγορος έλεγχος πριν εμπιστευτείς την απάντηση

Κάνε στον εαυτό σου δύο ερωτήσεις:

1. Έκανα πρώτα την αφαίρεση και μετά την ύψωση στο τετράγωνο;
2. Είναι η τελική απόσταση λογική σε μέγεθος σε σύγκριση με τις μεταβολές των συντεταγμένων;

Αυτοί οι δύο έλεγχοι εντοπίζουν γρήγορα τα περισσότερα λάθη.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Βρες την απόσταση μεταξύ των σημείων $(-2, 3)$ και $(4, -1)$ σε 2D. Έπειτα σύγκρινε τη διαδικασία σου με τον Τύπο μέσου σημείου για να δεις τη διαφορά ανάμεσα στην εύρεση ενός μήκους και στην εύρεση ενός σημείου που βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος.