Νόμος των συνημιτόνων — Τύπος, απόδειξη και παραδείγματα

Χρησιμοποίησε τον νόμο των συνημιτόνων όταν ένα τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο και γνωρίζεις είτε δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία είτε και τις τρεις πλευρές. Για πλευρές $a$, $b$, $c$ απέναντι από γωνίες $A$, $B$, $C$, η βασική μορφή είναι

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Εδώ, η πλευρά $c$ είναι απέναντι από τη γωνία $C$, και η $C$ είναι η γωνία ανάμεσα στις πλευρές $a$ και $b$. Το ίδιο μοτίβο ισχύει και για τις άλλες πλευρές:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

Αν $C = 90^\circ$, τότε $\cos C = 0$, οπότε ο τύπος γίνεται $c^2 = a^2 + b^2$. Γι’ αυτό ο νόμος των συνημιτόνων είναι γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος.

Πότε να χρησιμοποιείς τον νόμο των συνημιτόνων

Η πιο συνηθισμένη περίπτωση είναι η SAS: δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία. Περιεχόμενη γωνία σημαίνει η γωνία που σχηματίζεται από αυτές τις δύο γνωστές πλευρές.

Λειτουργεί επίσης και στην περίπτωση SSS: είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές και θέλεις να βρεις μία γωνία. Σε αυτή την περίπτωση, αναδιάταξε πρώτα τον τύπο πριν χρησιμοποιήσεις το αντίστροφο συνημίτονο.

Αν γνωρίζεις ήδη μία πλευρά και την απέναντι γωνία της, ο νόμος των ημιτόνων είναι συχνά το καλύτερο πρώτο εργαλείο.

Τι σημαίνει ο τύπος

Αν δύο πλευρές μένουν σταθερές, η τρίτη πλευρά εξαρτάται από τη γωνία ανάμεσά τους.

Όταν η περιεχόμενη γωνία μεγαλώνει, η απέναντι πλευρά μεγαλώνει. Όταν η γωνία μικραίνει, η απέναντι πλευρά μικραίνει. Ο όρος $-2ab\cos C$ διορθώνει το απλό άθροισμα $a^2 + b^2$ ώστε να ληφθεί υπόψη αυτή η γωνία.

Αυτός ο διορθωτικός όρος είναι το σημείο που πρέπει να θυμάται κανείς. Χωρίς αυτόν, θα αντιμετώπιζες κάθε τρίγωνο σαν να ήταν ορθογώνιο.

Λυμένο παράδειγμα: εύρεση πλευράς

Έστω ότι ένα τρίγωνο έχει πλευρές $a = 5$ και $b = 7$, και η περιεχόμενη γωνία είναι $C = 60^\circ$. Να βρεθεί η πλευρά $c$.

Επειδή η $c$ είναι απέναντι από τη γνωστή γωνία $C$, χρησιμοποιούμε

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

Αφού $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

Άρα

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

Αυτό το αποτέλεσμα έχει νόημα: η τρίτη πλευρά είναι μεγαλύτερη από $5$ αλλά μικρότερη από $7 + 5 = 12$, και η γωνία είναι μέτρια και όχι υπερβολικά μεγάλη.

Πώς να βρεις μια γωνία από τρεις πλευρές

Αν είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές, λύνεις πρώτα ως προς το συνημίτονο:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Έπειτα υπολογίζεις

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Αυτό έχει νόημα μόνο όταν τα $a$, $b$ και $c$ σχηματίζουν έγκυρο τρίγωνο. Αν η τιμή μέσα στο $\cos^{-1}$ είναι έξω από το διάστημα $[-1, 1]$, υπάρχει προηγούμενο λάθος στην άλγεβρα ή στα δεδομένα.

Μια σύντομη ιδέα απόδειξης

Μια καθαρή απόδειξη προκύπτει από τις συντεταγμένες.

Τοποθέτησε μία πλευρά πάνω στον άξονα $x$. Έστω ότι μία κορυφή είναι στο $(0, 0)$ και μία άλλη στο $(b, 0)$. Τοποθέτησε την τρίτη κορυφή στο $(a\cos C, a\sin C)$, επειδή αυτό το σημείο απέχει $a$ από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει γωνία $C$ με τον άξονα $x$.

Τώρα χρησιμοποίησε τον τύπο της απόστασης ανάμεσα στα $(b, 0)$ και $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

Αναπτύσσοντας:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

Έπειτα χρησιμοποίησε

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

για να συνδυάσεις τους δύο τελευταίους όρους:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Αυτός είναι ο νόμος των συνημιτόνων.

Συνηθισμένα λάθη

Αντιστοίχιση λάθος πλευράς και γωνίας

Η γωνία στον τύπο πρέπει να είναι απέναντι από την πλευρά που βρίσκεται στο αριστερό μέλος της εξίσωσης. Αν χρησιμοποιείς τη γωνία $C$, τότε στο αριστερό μέλος πρέπει να είναι το $c^2$.

Χρήση του τύπου σαν να ήταν κάθε τρίγωνο ορθογώνιο

Αν η γωνία δεν είναι $90^\circ$, δεν μπορείς να παραλείψεις τον όρο $-2ab\cos C$.

Λάθος ρύθμιση στην αριθμομηχανή

Αν η άσκηση δίνει μοίρες, η αριθμομηχανή σου πρέπει να είναι σε λειτουργία μοιρών. Αν δίνει ακτίνια, χρησιμοποίησε λειτουργία ακτινίων.

Εύρεση γωνίας χωρίς προσεκτική απομόνωση του συνημιτόνου

Όταν είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές, κάνε πρώτα την αναδιάταξη και μετά χρησιμοποίησε το αντίστροφο συνημίτονο. Ένα μικρό αλγεβρικό λάθος εκεί μπορεί να αλλάξει πολύ την τελική γωνία.

Πού χρησιμοποιείται ο νόμος των συνημιτόνων

Ο νόμος των συνημιτόνων είναι συνηθισμένος στη γεωμετρία, την τριγωνομετρία, την τοπογραφία, τη ναυσιπλοΐα και σε κάθε πρόβλημα όπου χρειάζεσαι αποστάσεις σε μη ορθογώνιο τρίγωνο.

Στα σχολικά μαθηματικά, οι δύο βασικές χρήσεις είναι:

• η εύρεση μιας άγνωστης πλευράς από δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία
• η εύρεση μιας άγνωστης γωνίας από τις τρεις πλευρές

Αν έχεις ήδη ορθογώνιο τρίγωνο, το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι συνήθως η πιο απλή εκδοχή. Αν αντί γι’ αυτό γνωρίζεις γωνίες μαζί με ένα ζεύγος πλευράς, ο νόμος των ημιτόνων μπορεί να ταιριάζει καλύτερα.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Πάρε $a = 8$, $b = 11$ και $C = 30^\circ$, και μετά βρες το $c$. Έπειτα άλλαξε το $C$ σε $120^\circ$ και σύγκρινε το αποτέλεσμα. Το να βλέπεις την απέναντι πλευρά να μεγαλώνει είναι ένας από τους πιο γρήγορους τρόπους για να γίνει ο τύπος διαισθητικός.

Αν θέλεις ανατροφοδότηση βήμα προς βήμα με τους δικούς σου αριθμούς, εξερεύνησε ένα παρόμοιο τρίγωνο στο GPAI Solver.