Πυθαγόρειες τριάδες — Συνηθισμένες τριάδες και πώς να τις βρείτε

Μια Πυθαγόρεια τριάδα είναι ένα σύνολο τριών θετικών ακεραίων $(a,b,c)$ που ικανοποιούν τη σχέση $a^2 + b^2 = c^2$. Με απλά λόγια, οι τρεις αριθμοί είναι ακέραια μήκη πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και το $c$ είναι η υποτείνουσα. Το κλασικό παράδειγμα είναι το $(3,4,5)$, επειδή $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Χρησιμοποιήστε αυτή την ιδέα μόνο όταν και οι τρεις τιμές είναι θετικοί ακέραιοι. Πολλά ορθογώνια τρίγωνα ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά μόνο μερικά έχουν ακέραια μήκη πλευρών.

Συνηθισμένες Πυθαγόρειες τριάδες που πρέπει να γνωρίζετε

Αυτές εμφανίζονται αρκετά συχνά, ώστε να αξίζει να τις αναγνωρίζετε αμέσως:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Και τα πολλαπλάσιά τους λειτουργούν επίσης. Για παράδειγμα, αν διπλασιάσετε το $(3,4,5)$, παίρνετε το $(6,8,10)$, και

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

Γι’ αυτό πολλές μη πρωτογενείς τριάδες είναι απλώς κλιμακωμένα αντίγραφα μικρότερων.

Τι κάνει μια τριάδα πρωτογενή

Μια πρωτογενής Πυθαγόρεια τριάδα δεν έχει κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο από το $1$. Για παράδειγμα, το $(3,4,5)$ είναι πρωτογενές, αλλά το $(6,8,10)$ δεν είναι, επειδή και οι τρεις αριθμοί διαιρούνται με το $2$.

Αυτό έχει σημασία, επειδή κάθε μη πρωτογενής τριάδα προκύπτει από κλιμάκωση μιας πρωτογενούς. Αν κατανοείτε τις πρωτογενείς τριάδες, κατανοείτε και τη μεγαλύτερη οικογένεια.

Πώς να βρείτε Πυθαγόρειες τριάδες

Υπάρχουν δύο πρακτικοί τρόποι για να βρείτε καινούριες.

Κλιμακώστε μια τριάδα που ήδη γνωρίζετε

Αν το $(a,b,c)$ είναι Πυθαγόρεια τριάδα και το $k$ είναι θετικός ακέραιος, τότε και το $(ka,kb,kc)$ είναι επίσης Πυθαγόρεια τριάδα, επειδή

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

Αυτός είναι ο πιο γρήγορος τρόπος για να φτιάξετε παραδείγματα όπως το $(9,12,15)$ ή το $(10,24,26)$.

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Ευκλείδη

Αν τα $m$ και $n$ είναι ακέραιοι με $m > n > 0$, τότε

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

δίνει μια Πυθαγόρεια τριάδα.

Αν θέλετε μια πρωτογενή τριάδα, δηλαδή οι τρεις αριθμοί να μην έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο από το $1$, τότε χρειάζεται επίσης τα $m$ και $n$ να είναι πρώτοι μεταξύ τους και να μην είναι και οι δύο περιττοί.

Λυμένο παράδειγμα: Δημιουργία μιας τριάδας

Πάρτε $m = 4$ και $n = 1$. Αφού $m > n > 0$, εφαρμόζεται ο τύπος του Ευκλείδη.

Τότε

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Άρα το $(8,15,17)$ είναι Πυθαγόρεια τριάδα.

Μπορείτε να το επαληθεύσετε άμεσα:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Τώρα κλιμακώστε την επί $2$ και παίρνετε το $(16,30,34)$. Το σχήμα του ορθογωνίου τριγώνου μένει το ίδιο, αλλά τα μήκη των πλευρών διπλασιάζονται.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει και τις δύο βασικές ιδέες μαζί: ο τύπος του Ευκλείδη δημιουργεί μια τριάδα και η κλιμάκωση δημιουργεί περισσότερες.

Συνηθισμένα λάθη με τις Πυθαγόρειες τριάδες

Ξεχνάτε την προϋπόθεση των ακεραίων

Η εξίσωση $a^2+b^2=c^2$ έχει πολλές λύσεις στους πραγματικούς αριθμούς, αλλά μια Πυθαγόρεια τριάδα απαιτεί και οι τρεις τιμές να είναι θετικοί ακέραιοι.

Θεωρείτε κάθε έγκυρη τριάδα πρωτογενή

Το $(6,8,10)$ είναι έγκυρη τριάδα, αλλά δεν είναι πρωτογενής, επειδή και οι τρεις αριθμοί έχουν κοινό διαιρέτη το $2$.

Μπερδεύετε την «τριάδα» με την «πρωτογενή τριάδα»

Μια τριάδα χρειάζεται μόνο να ικανοποιεί τη σχέση $a^2+b^2=c^2$ με θετικούς ακεραίους. Οι επιπλέον συνθήκες για τα $m$ και $n$ έχουν σημασία μόνο αν θέλετε η τριάδα να είναι πρωτογενής.

Βάζετε τον μεγαλύτερο αριθμό σε λάθος θέση

Σε μια τριάδα $(a,b,c)$, το $c$ είναι η υποτείνουσα, άρα πρέπει να είναι ο μεγαλύτερος αριθμός.

Πότε είναι χρήσιμες οι Πυθαγόρειες τριάδες

Εμφανίζονται στη γεωμετρία ορθογωνίων τριγώνων, στην αναλυτική γεωμετρία και στην εισαγωγική θεωρία αριθμών. Είναι επίσης χρήσιμες όταν θέλετε να ελέγξετε γρήγορα αν τρεις ακέραιοι αριθμοί μπορούν να σχηματίσουν ορθογώνιο τρίγωνο.

Στα μαθηματικά με αποδείξεις, αποτελούν κλασικό παράδειγμα διοφαντικής εξίσωσης: μιας εξίσωσης όπου αναζητάτε ακέραιες λύσεις αντί για όλες τις πραγματικές λύσεις.

Δοκιμάστε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Χρησιμοποιήστε $m = 5$ και $n = 2$ στον τύπο του Ευκλείδη και έπειτα επαληθεύστε το αποτέλεσμα στην εξίσωση $a^2 + b^2 = c^2$. Αν θέλετε ένα ακόμη βήμα, εξερευνήστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για να δείτε πώς η ίδια σχέση χρησιμοποιείται για την εύρεση άγνωστων μηκών πλευρών.