Είδη Αριθμών — Φυσικοί, Μη Αρνητικοί Ακέραιοι, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι

Τα είδη αριθμών δείχνουν σε ποια κατηγορία ανήκει ένας αριθμός: φυσικός, μη αρνητικός ακέραιος, ακέραιος, ρητός ή άρρητος. Η βασική ιδέα είναι απλή: κάποια σύνολα περιέχονται μέσα σε μεγαλύτερα, οπότε ένας αριθμός μπορεί να ανήκει ταυτόχρονα σε περισσότερες από μία κατηγορίες.

Μια λεπτομέρεια έχει σημασία από την αρχή: σε ορισμένα σχολικά βιβλία το $0$ ανήκει στους φυσικούς αριθμούς, ενώ σε άλλα όχι. Οι μη αρνητικοί ακέραιοι συνήθως είναι οι $0, 1, 2, 3, \dots$, άρα το $0$ είναι ο αριθμός που εξαρτάται περισσότερο από τη σύμβαση.

Πώς Συνδέονται Μεταξύ Τους Τα Σύνολα Αριθμών

Η συνηθισμένη εικόνα για τους πραγματικούς αριθμούς είναι:

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

Οι άρρητοι αριθμοί είναι επίσης πραγματικοί αριθμοί, αλλά δεν είναι ρητοί. Άρα οι πραγματικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο ομάδες: ρητούς και άρρητους.

Γι’ αυτό ένας αριθμός μπορεί να έχει πολλές ταμπέλες. Για παράδειγμα, το $4$ είναι φυσικός, μη αρνητικός ακέραιος, ακέραιος και ρητός, επειδή $4 = 4/1$.

Φυσικοί, Μη Αρνητικοί Ακέραιοι, Ακέραιοι, Ρητοί και Άρρητοι

Φυσικοί Αριθμοί

Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί της αρίθμησης. Σε πολλά μαθήματα αυτό σημαίνει

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

Σε ορισμένα μαθήματα περιλαμβάνεται και το $0$. Αν το μάθημα ή το βιβλίο σου δεν το ξεκαθαρίζει, έλεγξέ το πριν κατατάξεις το $0$ στους φυσικούς.

Μη Αρνητικοί Ακέραιοι

Οι μη αρνητικοί ακέραιοι είναι συνήθως οι

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

Οι μη αρνητικοί ακέραιοι περιλαμβάνουν το μηδέν, αλλά δεν περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς ή κλάσματα.

Ακέραιοι

Οι ακέραιοι περιλαμβάνουν τους αρνητικούς ακεραίους, το μηδέν και τους θετικούς ακεραίους:

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

Ένας ακέραιος δεν έχει κλασματικό μέρος, άρα το $-7$ και το $0$ είναι ακέραιοι, αλλά το $3/2$ δεν είναι.

Ρητοί Αριθμοί

Ένας ρητός αριθμός είναι κάθε αριθμός που μπορεί να γραφτεί στη μορφή

$$\frac{a}{b}$$

όπου τα $a$ και $b$ είναι ακέραιοι και $b \ne 0$.

Αυτό περιλαμβάνει κλάσματα όπως $\frac{3}{4}$, ακεραίους όπως το $-2$ επειδή $-2 = -2/1$, και δεκαδικούς που είναι πεπερασμένοι ή περιοδικοί, όπως $0.5$ και $0.333\dots$.

Άρρητοι Αριθμοί

Ένας άρρητος αριθμός δεν μπορεί να γραφτεί ως λόγος δύο ακεραίων.

Για τους πραγματικούς αριθμούς, αυτό σημαίνει ότι η δεκαδική του μορφή δεν τελειώνει και δεν επαναλαμβάνεται με σταθερό μοτίβο. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι το $\sqrt{2}$ και το $\pi$.

Λυμένο Παράδειγμα: Πώς Να Κατατάξεις Έναν Αριθμό

Χρησιμοποίησε αντιπροσωπευτικά παραδείγματα για να δεις γρήγορα το μοτίβο:

Αριθμός	Κατάταξη	Γιατί
$0$	μη αρνητικός ακέραιος, ακέραιος, ρητός	$0 = 0/1$, άρα είναι ρητός. Είναι επίσης μη αρνητικός ακέραιος και ακέραιος. Είναι φυσικός μόνο αν το μάθημά σου περιλαμβάνει το $0$.
$-3$	ακέραιος, ρητός	Δεν έχει κλασματικό μέρος, άρα είναι ακέραιος. Επίσης, $-3 = -3/1$, άρα είναι ρητός.
$\frac\{7\}\{4\}$	ρητός	Είναι ήδη γραμμένος ως λόγος δύο ακεραίων με μη μηδενικό παρονομαστή, άρα είναι ρητός αλλά όχι ακέραιος.
$\sqrt\{2\}$	άρρητος	Δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα δύο ακεραίων, άρα είναι άρρητος.

Αυτό δείχνει τη βασική ιδέα: η κατάταξη εξαρτάται από το αν ο αριθμός ικανοποιεί τον ορισμό, όχι από το πόσο περίπλοκος φαίνεται.

Ένας Γρήγορος Έλεγχος για Δεκαδικούς

Αν ένας δεκαδικός αριθμός είναι πεπερασμένος, τότε είναι ρητός. Για παράδειγμα,

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

Αν ένας δεκαδικός είναι περιοδικός, τότε είναι επίσης ρητός. Για παράδειγμα,

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

Αν η δεκαδική ανάπτυξη ενός πραγματικού αριθμού ούτε τελειώνει ούτε επαναλαμβάνεται, τότε είναι άρρητος.

Αυτός ο έλεγχος λειτουργεί μόνο όταν γνωρίζεις το μοτίβο. Ένας δεκαδικός που απλώς φαίνεται μεγάλος δεν είναι αυτόματα άρρητος.

Συνηθισμένα Λάθη Σχετικά με τα Είδη Αριθμών

Να Υποθέτεις Ότι το $0$ Είναι Πάντα Φυσικός

Διαφορετικά βιβλία χρησιμοποιούν διαφορετικές συμβάσεις. Αν μια άσκηση ρωτά αν το $0$ είναι φυσικός, έλεγξε ποιος ορισμός χρησιμοποιείται.

Να Ξεχνάς Ότι οι Ακέραιοι Είναι Ρητοί Αριθμοί

Οι μαθητές μερικές φορές διαχωρίζουν υπερβολικά τους ακεραίους από τους ρητούς. Κάθε ακέραιος είναι ρητός, επειδή μπορεί πάντα να γραφτεί με παρονομαστή το $1$.

Να Νομίζεις Ότι Κάθε Τετραγωνική Ρίζα Είναι Άρρητη

Μερικές είναι άρρητες, αλλά όχι όλες. Για παράδειγμα, το $\sqrt{2}$ είναι άρρητο, αλλά το $\sqrt{9} = 3$ είναι ρητό.

Να Υποθέτεις Ότι Ένας Μεγάλος Δεκαδικός Πρέπει να Είναι Άρρητος

Το μήκος δεν είναι το κριτήριο. Το πραγματικό ερώτημα είναι αν ο δεκαδικός τελειώνει ή επαναλαμβάνεται.

Πού Χρησιμοποιείς τους Φυσικούς, Μη Αρνητικούς Ακέραιους, Ακεραίους, Ρητούς και Άρρητους Αριθμούς

Αυτές οι κατηγορίες εμφανίζονται όταν λύνεις εξισώσεις, περιγράφεις σύνολα λύσεων, επιλέγεις επιτρεπτές τιμές εισόδου και διαβάζεις άξονες αριθμών. Αν ένα πρόβλημα ζητά ακέραιες λύσεις, το $\frac{5}{2}$ αποκλείεται αμέσως, παρόλο που είναι ρητός.

Έχουν επίσης σημασία επειδή οι πράξεις δεν σε κρατούν πάντα μέσα στο ίδιο σύνολο. Οι φυσικοί αριθμοί, για παράδειγμα, παραμένουν φυσικοί στην πρόσθεση, αλλά όχι πάντα στην αφαίρεση.

Δοκίμασε Μια Παρόμοια Κατάταξη

Δοκίμασε να κατατάξεις τους $5$, $-1$, $0.25$ και $\sqrt{9}$. Κάνε κάθε φορά τις ίδιες ερωτήσεις: είναι αριθμός αρίθμησης, περιλαμβάνει το μηδέν, έχει κλασματικό μέρος, μπορεί να γραφτεί ως $a/b$ ή αποτυγχάνει σε αυτό το κριτήριο;