Απόλυτη τιμή — Ορισμός και ιδιότητες

Η απόλυτη τιμή σημαίνει απόσταση από το $0$ στον άξονα των αριθμών. Για πραγματικούς αριθμούς, αυτό σημαίνει ότι το $|x|$ είναι πάντα μη αρνητικό.

Γι’ αυτό $|5| = 5$ και $|-5| = 5$. Οι αριθμοί βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του $0$, αλλά έχουν την ίδια απόσταση από αυτό.

Ορισμός της απόλυτης τιμής

Για έναν πραγματικό αριθμό $x$,

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Αυτό δεν σημαίνει ότι η απόλυτη τιμή «κάνει τα πάντα θετικά». Αφήνει τους μη αρνητικούς αριθμούς όπως είναι και αλλάζει το πρόσημο των αρνητικών αριθμών.

Σκέψου την ως απόσταση

Το καλύτερο νοητικό μοντέλο είναι η απόσταση. Αν δεις $|x|$, σκέψου «την απόσταση του $x$ από το $0$».

Η ίδια ιδέα εξηγεί και παραστάσεις όπως $|a-b|$. Αυτή είναι η απόσταση ανάμεσα στο $a$ και το $b$ στον άξονα των αριθμών.

Για παράδειγμα,

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

άρα η απόσταση ανάμεσα στο $2$ και το $7$ είναι $5$.

Βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής

Αυτές είναι οι ιδιότητες που θα χρησιμοποιείς πιο συχνά:

1. $|x| \ge 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$.
2. $|x| = 0$ μόνο όταν $x = 0$.
3. $|-x| = |x|$.
4. $|ab| = |a||b|$ για πραγματικούς αριθμούς $a$ και $b$.
5. Αν $b \ne 0$, τότε $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

Η συνθήκη $b \ne 0$ είναι σημαντική στην τελευταία ιδιότητα, επειδή η διαίρεση με το $0$ δεν ορίζεται.

Λυμένο παράδειγμα: Λύσε την εξίσωση $|x - 3| = 5$

Αυτή η εξίσωση ζητά αριθμούς που έχουν απόσταση $5$ από το $3$.

Αν ένας αριθμός είναι $5$ μονάδες δεξιά από το $3$, τότε

$$x - 3 = 5$$

άρα

$$x = 8$$

Αν ένας αριθμός είναι $5$ μονάδες αριστερά από το $3$, τότε

$$x - 3 = -5$$

άρα

$$x = -2$$

Επομένως οι λύσεις είναι

$$x = 8 \quad \text{ή} \quad x = -2$$

Αυτή η ιδέα των δύο περιπτώσεων είναι το βασικό μοτίβο που πρέπει να θυμάσαι. Αν $|u| = k$ και $k > 0$, λύνεις και τις δύο εξισώσεις $u = k$ και $u = -k$.

Συνηθισμένα λάθη με την απόλυτη τιμή

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να νομίζει κανείς ότι το $|x|$ μπορεί να είναι αρνητικό. Δεν μπορεί. Για πραγματικούς αριθμούς, η απόλυτη τιμή είναι πάντα τουλάχιστον $0$.

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι να λύνεις μόνο τη μία περίπτωση. Στο παραπάνω παράδειγμα, αν σταματήσεις στο $x = 8$, χάνεις το δεύτερο σημείο που επίσης απέχει $5$ μονάδες από το $3$.

Οι μαθητές επίσης συχνά μπερδεύουν το $|-x|$ με το $-|x|$. Δεν είναι το ίδιο. Πράγματι, $|-x| = |x|$, αλλά το $-|x|$ είναι μηδέν ή αρνητικό.

Πού χρησιμοποιείται η απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή εμφανίζεται κάθε φορά που το μέγεθος έχει μεγαλύτερη σημασία από την κατεύθυνση.

Τη συναντάς στην απόσταση πάνω στον άξονα των αριθμών, στο σφάλμα ή την απόκλιση από μια τιμή-στόχο, σε εξισώσεις και ανισώσεις, και σε τύπους όπου πρέπει να παραμείνει μόνο το μέτρο. Σε πιο προχωρημένα μαθηματικά, εμφανίζεται επίσης στην αναλυτική γεωμετρία, στον λογισμό και στους μιγαδικούς αριθμούς, αν και η ακριβής σημασία εξαρτάται από το πλαίσιο.

Γρήγορος έλεγχος για εξισώσεις της μορφής $|u| = k$

Αν δεις μια εξίσωση όπως $|u| = k$, έλεγξε πρώτα το δεξί μέλος.

Αν $k < 0$, δεν υπάρχει πραγματική λύση, επειδή μια απόλυτη τιμή δεν μπορεί να ισούται με αρνητικό αριθμό. Αν $k = 0$, τότε το εσωτερικό πρέπει να είναι $0$. Αν $k > 0$, περίμενε δύο περιπτώσεις, εκτός αν και οι δύο οδηγούν στην ίδια τιμή.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα με απόλυτη τιμή

Δοκίμασε να λύσεις την εξίσωση $|x + 4| = 9$. Διάβασέ την ως «η απόσταση από το $-4$ είναι $9$» και μετά γράψε τις δύο αντίστοιχες περιπτώσεις. Αν θέλεις να ελέγξεις τον εαυτό σου αφού λύσεις, αντικατάστησε και τις δύο απαντήσεις στην αρχική εξίσωση.