Σειρά των πράξεων — Κανόνες PEMDAS / BODMAS

Η σειρά των πράξεων σου δείχνει τι πρέπει να κάνεις πρώτα σε μια μαθηματική παράσταση, ώστε όλοι να βρίσκουν την ίδια απάντηση. Στο PEMDAS ή BODMAS, ο κανόνας είναι: πρώτα απλοποιείς τα σύμβολα ομαδοποίησης, μετά τις δυνάμεις, έπειτα τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά, και τέλος την πρόσθεση και την αφαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά.

Αν θυμάσαι μόνο ένα πράγμα, να θυμάσαι αυτό: ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση έχουν το ίδιο επίπεδο προτεραιότητας, και η πρόσθεση και η αφαίρεση επίσης. Μέσα σε κάθε επίπεδο, προχωράς από αριστερά προς τα δεξιά.

Το PEMDAS και το BODMAS σημαίνουν τον ίδιο κανόνα

Το PEMDAS σημαίνει Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. Το BODMAS χρησιμοποιεί Brackets και Orders αντί για Parentheses και Exponents. Ο κανόνας πίσω από αυτά είναι ο ίδιος.

Το σημείο που συνήθως μπερδεύει είναι το μεσαίο μέρος του αρκτικόλεξου. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι ένα επίπεδο προτεραιότητας, άρα κάνεις όποια πράξη εμφανίζεται πρώτη από τα αριστερά. Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι επίσης ένα επίπεδο προτεραιότητας, οπότε και πάλι δουλεύεις από αριστερά προς τα δεξιά.

Αυτό σημαίνει ότι το PEMDAS δεν λέει «πάντα πολλαπλασιασμός πριν από διαίρεση». Λέει «ολοκλήρωσε το στάδιο του πολλαπλασιασμού-ή-διαίρεσης με τη σειρά».

Η σειρά των πράξεων σε 4 βήματα

1. Απλοποίησε ό,τι βρίσκεται μέσα σε σύμβολα ομαδοποίησης, όπως οι παρενθέσεις.
2. Υπολόγισε τις δυνάμεις.
3. Κάνε πολλαπλασιασμό και διαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά.
4. Κάνε πρόσθεση και αφαίρεση από αριστερά προς τα δεξιά.

Αν τα σύμβολα ομαδοποίησης είναι εμφωλευμένα, ξεκίνα από το πιο εσωτερικό μέρος και προχώρα προς τα έξω. Η γραμμή κλάσματος λειτουργεί επίσης ως ομαδοποίηση, επειδή όλος ο αριθμητής και ο παρονομαστής μένουν μαζί.

Λυμένο παράδειγμα: Εφάρμοσε το PEMDAS βήμα προς βήμα

Υπολόγισε

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2$$

Ξεκίνα με τις παρενθέσεις:

$$24 / 3 \times 4 - 2^2$$

Τώρα υπολόγισε τη δύναμη:

$$24 / 3 \times 4 - 4$$

Στη συνέχεια, κάνε διαίρεση και πολλαπλασιασμό από αριστερά προς τα δεξιά:

$$24 / 3 = 8$$

οπότε η παράσταση γίνεται

$$8 \times 4 - 4$$

Έπειτα πολλαπλασίασε:

$$32 - 4$$

Τέλος αφαίρεσε:

$$28$$

Άρα

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2 = 28$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει καθαρά την πιο συνηθισμένη παγίδα. Αν πολλαπλασίαζες πρώτα το $3 \times 4$, θα άλλαζες τον κανόνα από αριστερά προς τα δεξιά μέσα στο στάδιο του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης.

Συνηθισμένα λάθη στη σειρά των πράξεων

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να διαβάζει κανείς το PEMDAS σαν μια αυστηρή σκάλα από πάνω προς τα κάτω. Στο $20 / 5 \times 2$, κάνεις πρώτα τη διαίρεση επειδή αυτή η πράξη εμφανίζεται πρώτη από τα αριστερά, άρα το αποτέλεσμα είναι $8$ και όχι $2$.

Ένα άλλο λάθος είναι να αντιμετωπίζεται η πρόσθεση σαν να πρέπει να γίνει πριν από την αφαίρεση, ή η αφαίρεση πριν από την πρόσθεση. Στο $10 - 3 + 1$, δουλεύεις από αριστερά προς τα δεξιά και βρίσκεις $8$.

Οι μαθητές επίσης συχνά παραλείπουν το βήμα της επανεγγραφής. Έτσι είναι εύκολο να χαθεί ένα πρόσημο, να παραλειφθεί μια δύναμη ή να γίνει μια πράξη πολύ νωρίς. Το να ξαναγράφεις την παράσταση μετά από κάθε στάδιο είναι λίγο πιο αργό για λίγα δευτερόλεπτα, αλλά αποτρέπει πολλά λάθη.

Πότε χρησιμοποιείς αυτόν τον κανόνα

Χρησιμοποιείς τη σειρά των πράξεων κάθε φορά που μια παράσταση περιέχει διαφορετικά είδη πράξεων. Αυτό περιλαμβάνει τη σχολική αριθμητική, την άλγεβρα, τους τύπους στις φυσικές επιστήμες, τους υπολογισμούς σε υπολογιστικά φύλλα και την εισαγωγή πράξεων σε αριθμομηχανή.

Οι γλώσσες προγραμματισμού χρησιμοποιούν επίσης προτεραιότητα τελεστών, αλλά τα ακριβή σύμβολα μπορεί να διαφέρουν ανάλογα με τη γλώσσα ή το εργαλείο. Η βασική ιδέα είναι η ίδια: κάποιες πράξεις ομαδοποιούνται πριν από άλλες ώστε οι παραστάσεις να ερμηνεύονται με συνέπεια.

Ένας γρήγορος έλεγχος πριν προχωρήσεις

Αφού τελειώσεις, κάνε στον εαυτό σου δύο ερωτήσεις:

1. Τακτοποίησα πρώτα τα σύμβολα ομαδοποίησης και τις δυνάμεις πριν από τις βασικές πράξεις;
2. Μέσα στο στάδιο του πολλαπλασιασμού-ή-διαίρεσης και στο στάδιο της πρόσθεσης-ή-αφαίρεσης, προχώρησα από αριστερά προς τα δεξιά;

Αν η απάντηση και στις δύο είναι ναι, τότε η δομή σου είναι μάλλον σωστή.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε

$$30 / 5 \times (2 + 1) + 3^2$$

Λύσε το ένα στάδιο τη φορά και έλεγξε αν κάνεις πρώτα τη διαίρεση πριν από τον πολλαπλασιασμό. Αν θέλεις να επαληθεύσεις τα βήματά σου μετά, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή στον επιλυτή και σύγκρινε τις ενδιάμεσες γραμμές, όχι μόνο την τελική απάντηση.