Εμβαδόν επιφάνειας — Τύποι για όλα τα στερεά σχήματα

Το εμβαδόν επιφάνειας είναι το συνολικό εμβαδόν της εξωτερικής πλευράς ενός στερεού σχήματος. Αν φανταστείτε ότι τυλίγετε ένα στερεό με χαρτί, το εμβαδόν επιφάνειας δείχνει πόσο χαρτί το καλύπτει.

Ο τύπος εξαρτάται από το σχήμα και από το ποια μέρη περιλαμβάνονται. Οι παρακάτω τύποι αφορούν κλειστά στερεά, άρα μετρούν κάθε εξωτερική έδρα ή καμπύλη επιφάνεια.

Τύποι εμβαδού επιφάνειας για συνηθισμένα στερεά σχήματα

Κύβος με ακμή $a$:

$$SA = 6a^2$$

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με μήκος $l$, πλάτος $w$ και ύψος $h$:

$$SA = 2(lw + lh + wh)$$

Ορθός κυκλικός κύλινδρος με ακτίνα $r$ και ύψος $h$:

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$$

Σφαίρα με ακτίνα $r$:

$$SA = 4\pi r^2$$

Ορθός κυκλικός κώνος με ακτίνα $r$ και γενέτειρα $l$:

$$SA = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r+l)$$

Στον τύπο του κυλίνδρου, ο όρος $2\pi r^2$ μετρά και τις δύο κυκλικές βάσεις. Στον τύπο του κώνου, ο όρος $\pi r^2$ μετρά τη βάση και ο όρος $\pi rl$ μετρά την καμπύλη πλευρική επιφάνεια. Αν ένα στερεό είναι ανοιχτό από τη μία πλευρά, αφαιρέστε το μέρος που λείπει.

Τι σημαίνει το εμβαδόν επιφάνειας

Το εμβαδόν επιφάνειας είναι διαφορετικό από τον όγκο. Το εμβαδόν επιφάνειας μετρά την εξωτερική κάλυψη σε τετραγωνικές μονάδες, ενώ ο όγκος μετρά τον χώρο στο εσωτερικό σε κυβικές μονάδες.

Αυτή η διαφορά έχει σημασία, γιατί οι τύποι απαντούν σε διαφορετικά ερωτήματα. Το βάψιμο μιας δεξαμενής, το τύλιγμα ενός κουτιού ή η κάλυψη μιας μπάλας χρησιμοποιούν το εμβαδόν επιφάνειας. Το γέμισμα της δεξαμενής χρησιμοποιεί αντί γι’ αυτό τον όγκο.

Πώς να διαλέξετε τον σωστό τύπο για το εμβαδόν επιφάνειας

Ξεκινήστε κάνοντας δύο ερωτήσεις:

1. Ποιο είναι το σχήμα;
2. Ποιες μετρήσεις δίνονται;

Αν σε μια άσκηση δίνεται η διάμετρος ενός κυλίνδρου αντί για την ακτίνα του, κάντε πρώτα τη μετατροπή με $r = d/2$. Αν σε μια άσκηση δίνεται το κατακόρυφο ύψος ενός κώνου αλλά όχι η γενέτειρά του, μην βάλετε το κατακόρυφο ύψος απευθείας στον τύπο $\pi r(r+l)$.

Για έναν ορθό κώνο, η γενέτειρα προκύπτει από τη σχέση του Πυθαγορείου

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

όπου $h$ είναι το κατακόρυφο ύψος.

Λυμένο παράδειγμα: εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου

Έστω ότι ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος έχει ακτίνα $3$ cm και ύψος $8$ cm. Να βρεθεί το ολικό εμβαδόν επιφάνειάς του.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο

$$SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$

Αντικαθιστούμε $r = 3$ και $h = 8$:

$$SA = 2\pi(3)^2 + 2\pi(3)(8)$$ $$SA = 18\pi + 48\pi = 66\pi$$

Άρα το ακριβές εμβαδόν επιφάνειας είναι

$$66\pi \text{ cm}^2$$

Αν χρειάζεται δεκαδική προσέγγιση,

$$66\pi \approx 207.3 \text{ cm}^2$$

Αυτό το αποτέλεσμα είναι λογικό, γιατί ο κύλινδρος έχει δύο κυκλικές βάσεις και μία καμπύλη πλευρική επιφάνεια, και περιλαμβάνονται και τα τρία μέρη.

Συνηθισμένα λάθη στο εμβαδόν επιφάνειας

1. Σύγχυση του εμβαδού επιφάνειας με τον όγκο. Το εμβαδόν επιφάνειας χρησιμοποιεί τετραγωνικές μονάδες όπως $\text{cm}^2$, όχι κυβικές μονάδες.
2. Χρήση της διαμέτρου εκεί όπου ο τύπος χρειάζεται ακτίνα.
3. Παράλειψη μίας έδρας ή μίας βάσης, ειδικά σε κύβους, παραλληλεπίπεδα και κυλίνδρους.
4. Χρήση του κατακόρυφου ύψους ενός κώνου στη θέση της γενέτειρας.
5. Ανάμειξη μονάδων πριν από τον υπολογισμό, όπως εκατοστά για μία μέτρηση και μέτρα για μια άλλη.

Πότε χρησιμοποιείται το εμβαδόν επιφάνειας σε πραγματικά προβλήματα

Το εμβαδόν επιφάνειας είναι χρήσιμο όταν σας ενδιαφέρει η κάλυψη, η επικάλυψη ή η έκθεση μιας επιφάνειας. Τυπικά παραδείγματα είναι η μπογιά σε τοίχους, το χαρτί περιτυλίγματος για ένα κουτί, το υλικό ετικέτας γύρω από ένα κουτί αναψυκτικού ή το εξωτερικό υλικό μιας μπάλας.

Ο τύπος πρέπει να ταιριάζει με το αντικείμενο. Ο τύπος της σφαίρας ταιριάζει σε μια μπάλα, επειδή το σχήμα της είναι περίπου σφαιρικό. Ο τύπος του κυλίνδρου ταιριάζει σε ένα κουτί αναψυκτικού, επειδή το σχήμα του είναι περίπου ορθός κυκλικός κύλινδρος.

Ένας γρήγορος τρόπος να σκεφτείτε το εμβαδόν επιφάνειας

Για τα επίπεδα σχήματα, το εμβαδόν μετρά την εσωτερική περιοχή. Για τα στερεά, το εμβαδόν επιφάνειας προσθέτει τα εμβαδά όλων των εξωτερικών εδρών ή επιφανειών.

Γι’ αυτό πολλοί τύποι μοιάζουν με «άθροισμα πολλών εμβαδών». Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο προσθέτει έξι ορθογώνιες έδρες. Ένας κύλινδρος προσθέτει δύο κύκλους και μία καμπύλη πλευρική επιφάνεια. Ένας κώνος προσθέτει έναν κύκλο και μία καμπύλη πλευρική επιφάνεια.

Δοκιμάστε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή με ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο διαστάσεων $4$ cm, $5$ cm και $7$ cm. Υπολογίστε το συνολικό εξωτερικό εμβαδόν και μετά ελέγξτε ότι η απάντησή σας είναι σε τετραγωνικές μονάδες.

Αν θέλετε να προχωρήσετε ένα βήμα παραπέρα, βρείτε τον όγκο του ίδιου στερεού και συγκρίνετε τις μονάδες. Αυτός είναι ο πιο γρήγορος τρόπος να σταματήσετε να μπερδεύετε το εμβαδόν επιφάνειας με τον όγκο.