Τύποι όγκου για συνηθισμένα στερεά σχήματα

Εδώ είναι οι βασικοί τύποι όγκου για συνηθισμένα στερεά σχήματα: τα πρίσματα και οι κύλινδροι χρησιμοποιούν εμβαδόν βάσης επί ύψος, οι πυραμίδες και οι κώνοι χρησιμοποιούν το ένα τρίτο αυτού του μοτίβου, και οι σφαίρες χρησιμοποιούν έναν τύπο που βασίζεται στην ακτίνα. Μόλις δεις αυτή τη δομή, οι τύποι γίνονται πιο εύκολοι να κατανοηθούν και να απομνημονευτούν.

Τύποι όγκου για συνηθισμένα στερεά σχήματα

Στερεό	Τύπος όγκου	Τι πρέπει να ξέρεις
Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο	$V = lwh$	Μήκος, πλάτος και ύψος
Κύβος	$V = s^3$	Όλες οι ακμές έχουν το ίδιο μήκος
Κάθε πρίσμα	$V = Bh$	Το $B$ είναι το εμβαδόν της βάσης
Κύλινδρος	$V = \pi r^2 h$	Ίδιο με το $Bh$ επειδή η βάση είναι κύκλος
Κάθε πυραμίδα	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	Το ένα τρίτο ενός πρίσματος με την ίδια βάση και ύψος
Κώνος	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	Το ένα τρίτο ενός κυλίνδρου με την ίδια βάση και ύψος
Σφαίρα	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	Χρησιμοποιεί ακτίνα, όχι ύψος

Για τις πυραμίδες και τους κώνους, το $h$ σημαίνει το κάθετο ύψος. Αν σε μια άσκηση δίνεται αντί γι’ αυτό το πλάγιο ύψος, τότε αυτός ο αριθμός δεν μπαίνει απευθείας στον τύπο του όγκου.

Γιατί οι περισσότεροι τύποι όγκου ακολουθούν το ίδιο μοτίβο

Η πιο απλή ιδέα είναι η εξής:

$$V = Bh$$

Εδώ, το $B$ σημαίνει το εμβαδόν της βάσης και το $h$ είναι το ύψος μετρημένο κάθετα από αυτή τη βάση.

Αυτό το ένα μοτίβο εξηγεί πολλούς τύπους ταυτόχρονα. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει ορθογώνια βάση, άρα $B = lw$ και ο τύπος γίνεται $V = lwh$. Ένας κύλινδρος έχει κυκλική βάση, άρα $B = \pi r^2$ και ο τύπος γίνεται $V = \pi r^2 h$.

Οι πυραμίδες και οι κώνοι χρησιμοποιούν την ίδια ιδέα της βάσης και του ύψους, αλλά έχουν μόνο το ένα τρίτο του όγκου του αντίστοιχου πρίσματος ή κυλίνδρου:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Η σφαίρα είναι το βασικό συνηθισμένο στερεό που δεν ταιριάζει στο μοτίβο «εμβαδόν βάσης επί ύψος», γι’ αυτό αξίζει να θυμάσαι τον τύπο της ξεχωριστά.

Λυμένο παράδειγμα: Εύρεση του όγκου κώνου

Να βρεθεί ο όγκος ενός κώνου με ακτίνα $3$ cm και ύψος $8$ cm.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο του κώνου:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Απλοποιούμε:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

Άρα ο όγκος είναι $24\pi\ \text{cm}^3$, που είναι περίπου $75.4\ \text{cm}^3$.

Αυτό το παράδειγμα είναι χρήσιμο επειδή ο αντίστοιχος κύλινδρος με την ίδια ακτίνα και το ίδιο ύψος θα είχε όγκο $72\pi\ \text{cm}^3$. Ο κώνος είναι ακριβώς το ένα τρίτο αυτού, κάτι που λειτουργεί ως καλός ενσωματωμένος έλεγχος.

Συχνά λάθη με τους τύπους όγκου

1. Χρησιμοποιείς διάμετρο εκεί όπου ο τύπος θέλει ακτίνα. Αν σου δίνεται $d$, πρώτα μετέτρεψέ τη με $r = \frac{d}{2}$.
2. Χρησιμοποιείς πλάγιο ύψος για κώνο ή πυραμίδα. Ο όγκος χρησιμοποιεί το κάθετο ύψος.
3. Μπερδεύεις το εμβαδόν επιφάνειας με τον όγκο. Ο όγκος απαντά πόσος χώρος υπάρχει μέσα, όχι πόση εξωτερική επιφάνεια καλύπτεται.
4. Ξεχνάς τις κυβικές μονάδες. Ο όγκος πρέπει να γράφεται σε μονάδες όπως $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ ή $\text{in}^3$.
5. Θεωρείς ότι το $B$ είναι μήκος πλευράς αντί για εμβαδόν βάσης. Στο $V = Bh$, το $B$ είναι ήδη εμβαδόν.

Πότε να χρησιμοποιείς τους τύπους όγκου

Οι τύποι όγκου χρησιμοποιούνται όταν χρειάζεται να βρεις τη χωρητικότητα ή το εσωτερικό μέγεθος ενός τρισδιάστατου αντικειμένου. Στο σχολείο, αυτό συνήθως σημαίνει ασκήσεις γεωμετρίας. Εκτός σχολείου, η ίδια ιδέα εμφανίζεται όταν εκτιμάς πόσο μπορεί να χωρέσει ένα κουτί, πόσο υγρό χωρά σε μια δεξαμενή ή πόσο υλικό γεμίζει ένα δοχείο.

Η προϋπόθεση έχει σημασία: ο τύπος είναι ακριβής μόνο όσο ακριβές είναι και το μοντέλο του σχήματος. Αν ένα πραγματικό αντικείμενο είναι μόνο κατά προσέγγιση κυλινδρικό ή σφαιρικό, τότε και το αποτέλεσμα θα είναι κατά προσέγγιση.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Διάλεξε έναν κύλινδρο με ακτίνα $4$ μονάδες και ύψος $10$ μονάδες και μετά βρες τον όγκο του. Έπειτα, κράτησε την ίδια βάση και το ίδιο ύψος αλλά άλλαξέ τον σε κώνο. Το να δεις αυτές τις δύο απαντήσεις δίπλα δίπλα είναι ένας από τους πιο γρήγορους τρόπους για να σου μείνουν οι τύποι.