Περίμετρος: Έννοια, Τύποι για Συνηθισμένα Σχήματα και Ένα Παράδειγμα

Η περίμετρος είναι η συνολική απόσταση γύρω από το εξωτερικό ενός δισδιάστατου σχήματος. Στα πολύγωνα, τη βρίσκεις προσθέτοντας τα μήκη των πλευρών. Για έναν κύκλο, η περίμετρος λέγεται περιφέρεια.

Αν θέλεις τη σύντομη εκδοχή, είναι η εξής:

$$P = \text{sum of the outside side lengths}$$

Για έναν κύκλο, χρησιμοποίησε:

$$C = 2\pi r = \pi d$$

όπου $r$ είναι η ακτίνα και $d$ η διάμετρος.

Τι Μετρά η Περίμετρος

Η περίμετρος μετρά το μήκος του ορίου, όχι τον χώρο που περικλείεται. Γι’ αυτό διαφέρει από το εμβαδόν.

Αν ρωτάς πόση περίφραξη, διακοσμητική λωρίδα, μπορντούρα ή τελείωμα χρειάζεται, η περίμετρος είναι συνήθως το σωστό μέγεθος. Αν ρωτάς πόση επιφάνεια καλύπτεται, τότε χρειάζεσαι το εμβαδόν.

Τύποι Περιμέτρου για Συνηθισμένα Σχήματα

Αυτοί οι τύποι είναι απλώς συντομεύσεις για το άθροισμα των εξωτερικών μηκών.

Τετράγωνο

Αν κάθε πλευρά έχει μήκος $s$, τότε:

$$P = 4s$$

Ορθογώνιο

Αν το μήκος είναι $l$ και το πλάτος είναι $w$, τότε:

$$P = 2l + 2w = 2(l+w)$$

Τρίγωνο

Αν τα μήκη των πλευρών είναι $a$, $b$ και $c$, τότε:

$$P = a+b+c$$

Κανονικό Πολύγωνο

Αν ένα κανονικό πολύγωνο έχει $n$ ίσες πλευρές μήκους $s$, τότε:

$$P = ns$$

Αυτό ισχύει επειδή κάθε πλευρά έχει το ίδιο μήκος. Αν το πολύγωνο δεν είναι κανονικό, πρόσθεσε τα μήκη των πλευρών ένα προς ένα.

Κύκλος

Η περίμετρος ενός κύκλου είναι η περιφέρειά του:

$$C = 2\pi r$$

ή

$$C = \pi d$$

Και οι δύο τύποι σημαίνουν το ίδιο πράγμα, επειδή $d=2r$.

Λυμένο Παράδειγμα: Περίμετρος Ορθογωνίου

Έστω ότι ένας κήπος έχει μήκος $9$ μέτρα και πλάτος $4$ μέτρα. Για να βρεις πόση περίφραξη χρειάζεται γύρω του, χρησιμοποίησε τον τύπο του ορθογωνίου:

$$P = 2(l+w)$$

Αντικατέστησε $l=9$ και $w=4$:

$$P = 2(9+4) = 2(13) = 26$$

Άρα η περίμετρος είναι $26$ μέτρα. Η μονάδα παραμένει σε μέτρα, όχι σε τετραγωνικά μέτρα, επειδή η περίμετρος είναι μήκος.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει καθαρά τη βασική ιδέα: περίμετρος σημαίνει ότι διατρέχεις όλο το όριο μία φορά.

Συνηθισμένα Λάθη με την Περίμετρο

• Μπέρδεμα της περιμέτρου με το εμβαδόν. Η περίμετρος μετριέται σε μονάδες όπως εκατοστά ή μέτρα, ενώ το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες.
• Ξεχνάς να χρησιμοποιήσεις όλο το όριο. Σε ένα ορθογώνιο, χρειάζεσαι και τα δύο ζεύγη πλευρών.
• Ανακατεύεις μονάδες πριν από την πρόσθεση. Κάνε πρώτα μετατροπή αν η μία πλευρά είναι σε εκατοστά και η άλλη σε μέτρα.
• Χρησιμοποιείς το $2\pi r$ για σχήματα που δεν είναι κύκλοι.
• Υποθέτεις ότι το $ns$ ισχύει για κάθε πολύγωνο. Ισχύει άμεσα μόνο όταν και οι $n$ πλευρές έχουν το ίδιο μήκος.

Πότε να Χρησιμοποιείς την Περίμετρο Αντί για το Εμβαδόν

Χρησιμοποίησε την περίμετρο όταν το μήκος του άκρου έχει μεγαλύτερη σημασία από την εσωτερική περιοχή. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι η περίφραξη μιας αυλής, η τοποθέτηση τελειώματος γύρω από ένα δωμάτιο, η προσθήκη μπορντούρας γύρω από μια αφίσα ή ο υπολογισμός της απόστασης γύρω από έναν στίβο.

Εμφανίζεται επίσης σε πιο προχωρημένα μαθήματα μαθηματικών. Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, μπορεί πρώτα να βρεις τα μήκη των πλευρών με τον τύπο της απόστασης και μετά να τα προσθέσεις για να βρεις την περίμετρο.

Δοκίμασε ένα Παρόμοιο Πρόβλημα Περιμέτρου

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με ένα τρίγωνο που έχει πλευρές μήκους $5$, $7$ και $9$. Πρόσθεσε τις τρεις πλευρές και έλεγξε ότι η απάντησή σου είναι σε γραμμικές μονάδες.

Αν θέλεις να εξερευνήσεις μια άλλη περίπτωση με δικούς σου αριθμούς, λύσε ένα παρόμοιο πρόβλημα περιμέτρου στο GPAI Solver.