Zahlensysteme – Binär, Oktal, Hexadezimal

Binär, Oktal und Hexadezimal sind alles Stellenwertsysteme. Der Unterschied liegt in der Basis. Binär hat die Basis $2$, Oktal die Basis $8$ und Hexadezimal die Basis $16$. Wenn man diese Idee verstanden hat, wirken die Symbole nicht mehr geheimnisvoll.

In jedem Stellenwertsystem ist jede Stelle eine Potenz der Basis. Im Zehnersystem sind die Stellen $1$, $10$, $100$ und so weiter. Im Binärsystem sind die Stellen $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ und so weiter. Dieselbe Regel gilt für jede Basis.

Welche Ziffern die einzelnen Zahlensysteme verwenden

Im Binärsystem gibt es nur die Ziffern $0$ und $1$.

Das Oktalsystem verwendet die Ziffern $0$ bis $7$.

Das Hexadezimalsystem verwendet $16$ Symbole: $0$ bis $9$ und dann $A$ bis $F$ für die Werte $10$ bis $15$.

Das bedeutet, dass eine Hexadezimalziffer mehr Information enthalten kann als eine Binärziffer, weil eine Hexadezimalstelle in Potenzen von $16$ zählt und nicht in Potenzen von $2$.

Die wichtigste Grundidee

Eine Zahl ändert ihren Wert nicht, nur weil man sie in einer anderen Basis schreibt. Nur die Darstellung ändert sich.

Zum Beispiel ist die Zahl $45$ im Zehnersystem immer dieselbe Menge, egal ob man sie binär, oktal oder hexadezimal schreibt. Verschiedene Basen sind wie verschiedene Sprachen für dieselbe Menge.

Ein starkes Beispiel: Schreibe $45$ binär, oktal und hexadezimal

Wir beginnen mit der Basis $10$.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

Das sind Potenzen von $2$:

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

Also hat die Binärdarstellung Einsen an den Stellen $2^5$, $2^3$, $2^2$ und $2^0$:

$$45_{10} = 101101_2$$

Nun verwenden wir die Binärdarstellung, um die Oktaldarstellung zu erhalten. Da $8 = 2^3$, gruppieren wir die Binärziffern von rechts in Dreiergruppen:

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

Jede Gruppe wird zu einer Oktalziffer:

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

Also gilt:

$$45_{10} = 55_8$$

Jetzt bestimmen wir die Hexadezimaldarstellung. Da $16 = 2^4$, gruppieren wir die Binärziffern von rechts in Vierergruppen. Falls nötig, ergänzen wir führende Nullen:

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

Dann wandeln wir jede Gruppe um:

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

Also gilt:

$$45_{10} = 2D_{16}$$

Alle drei Schreibweisen stellen dieselbe Menge dar:

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

Häufige Fehler

Ein häufiger Fehler ist zu vergessen, dass die Basis die Stellenwerte verändert. Die Zeichenfolge $101$ bedeutet nicht dasselbe in der Basis $2$, der Basis $8$ und der Basis $10$.

Ein weiterer Fehler ist, Ziffern zu verwenden, die in der Basis nicht erlaubt sind. Zum Beispiel kann $2$ nicht in einer Binärzahl vorkommen, und $8$ nicht in einer Oktalzahl.

Außerdem gruppieren Lernende Binärziffern beim Umrechnen in Oktal oder Hexadezimal oft falsch. Gruppiere immer von rechts und ergänze bei Bedarf führende Nullen, damit eine vollständige Gruppe entsteht.

Wann diese Zahlensysteme verwendet werden

Das Binärsystem ist die Grundsprache digitaler Systeme, weil Schalter natürlicherweise zwei Zustände haben. Oktal- und Hexadezimalzahlen sind kompakte Möglichkeiten, lange Binärfolgen zu schreiben.

Man braucht keine Informatik, um die mathematische Idee dahinter zu verstehen. Diese Systeme sind trotzdem wertvoll, weil sie die Grundregel jeder Stellenwertschreibweise trainieren: Der Wert hängt von der Basis und von der Stelle ab.

Probiere eine ähnliche Umrechnung

Versuche, $58_{10}$ in Binär-, Oktal- und Hexadezimaldarstellung umzuwandeln. Schreibe die Zahl zuerst als Summe von Potenzen von $2$ und gruppiere dann die Binärziffern, um die beiden anderen Darstellungen zu erhalten.