Rechenreihenfolge — PEMDAS- / BODMAS-Regeln

Die Rechenreihenfolge sagt dir, was du in einem mathematischen Ausdruck zuerst ausrechnen musst, damit alle auf dasselbe Ergebnis kommen. Bei PEMDAS oder BODMAS gilt: Vereinfache zuerst Gruppierungssymbole, dann Potenzen, dann Multiplikation und Division von links nach rechts und schließlich Addition und Subtraktion von links nach rechts.

Wenn du dir nur eine Sache merkst, dann diese: Multiplikation und Division haben dieselbe Priorität, und Addition und Subtraktion haben ebenfalls dieselbe Priorität. Innerhalb jeder Stufe gehst du von links nach rechts.

PEMDAS und BODMAS meinen dieselbe Regel

PEMDAS steht für Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. BODMAS verwendet Brackets und Orders statt Parentheses und Exponents. Die zugrunde liegende Regel ist dieselbe.

Der verwirrende Teil ist die Mitte des Akronyms. Multiplikation und Division bilden eine gemeinsame Prioritätsstufe, also rechnest du die Operation aus, die von links zuerst kommt. Addition und Subtraktion bilden ebenfalls eine gemeinsame Prioritätsstufe, also arbeitest du wieder von links nach rechts.

Das bedeutet: PEMDAS sagt nicht „immer zuerst multiplizieren und dann dividieren“. Es sagt: „Arbeite die Stufe Multiplikation-oder-Division der Reihe nach ab.“

Rechenreihenfolge in 4 Schritten

1. Vereinfache innerhalb von Gruppierungssymbolen wie Klammern.
2. Berechne Potenzen.
3. Führe Multiplikation und Division von links nach rechts aus.
4. Führe Addition und Subtraktion von links nach rechts aus.

Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, beginnst du mit dem innersten Teil und arbeitest dich nach außen. Ein Bruchstrich wirkt ebenfalls wie eine Gruppierung, weil der gesamte Zähler und Nenner zusammengehören.

Durchgerechnetes Beispiel: PEMDAS Schritt für Schritt anwenden

Berechne

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2$$

Beginne mit den Klammern:

$$24 / 3 \times 4 - 2^2$$

Berechne nun die Potenz:

$$24 / 3 \times 4 - 4$$

Als Nächstes führst du Division und Multiplikation von links nach rechts aus:

$$24 / 3 = 8$$

also wird der Ausdruck zu

$$8 \times 4 - 4$$

Dann multipliziere:

$$32 - 4$$

Zum Schluss subtrahiere:

$$28$$

Also gilt

$$24 / 3 \times (1 + 3) - 2^2 = 28$$

Dieses Beispiel zeigt die wichtigste Falle deutlich. Wenn du zuerst $3 \times 4$ multiplizieren würdest, würdest du die Links-nach-rechts-Regel innerhalb der Stufe Multiplikation und Division verändern.

Häufige Fehler bei der Rechenreihenfolge

Ein häufiger Fehler ist, PEMDAS wie eine strenge Leiter von oben nach unten zu lesen. In $20 / 5 \times 2$ dividierst du zuerst, weil diese Operation von links zuerst erscheint. Das Ergebnis ist also $8$ und nicht $2$.

Ein weiterer Fehler ist, Addition so zu behandeln, als müsse sie immer vor der Subtraktion kommen, oder Subtraktion vor der Addition. In $10 - 3 + 1$ rechnest du von links nach rechts und erhältst $8$.

Außerdem lassen Schülerinnen und Schüler oft den Schritt des Neuaufschreibens aus. Dadurch übersieht man leicht ein Vorzeichen, eine Potenz oder führt eine Operation zu früh aus. Den Ausdruck nach jeder Stufe noch einmal aufzuschreiben dauert nur ein paar Sekunden, verhindert aber viele Fehler.

Wann du diese Regel verwendest

Du verwendest die Rechenreihenfolge immer dann, wenn ein Ausdruck verschiedene Rechenarten enthält. Dazu gehören Schulmathematik, Algebra, naturwissenschaftliche Formeln, Tabellenkalkulationen und Eingaben in den Taschenrechner.

Auch Programmiersprachen verwenden eine Operatorrangfolge, aber die genauen Symbole können je nach Sprache oder Werkzeug unterschiedlich sein. Die Grundidee ist dieselbe: Manche Operationen werden vor anderen zusammengefasst, damit Ausdrücke einheitlich interpretiert werden.

Eine kurze Kontrolle, bevor du weitermachst

Wenn du fertig bist, stelle dir zwei Fragen:

1. Habe ich Gruppierungssymbole und Potenzen vor den Grundrechenarten abgearbeitet?
2. Bin ich innerhalb der Stufe Multiplikation-oder-Division und der Stufe Addition-oder-Subtraktion von links nach rechts gegangen?

Wenn du beide Fragen mit Ja beantwortest, ist deine Struktur wahrscheinlich richtig.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche

$$30 / 5 \times (2 + 1) + 3^2$$

Löse die Aufgabe Stufe für Stufe und achte darauf, ob du vor dem Multiplizieren dividierst. Wenn du deine Schritte danach überprüfen möchtest, probiere deine eigene Version im Solver aus und vergleiche die Zwischenzeilen, nicht nur das Endergebnis.