Betrag — Definition und Eigenschaften

Der Betrag bedeutet den Abstand von $0$ auf der Zahlengeraden. Für reelle Zahlen ist $|x|$ deshalb immer nichtnegativ.

Darum gilt $|5| = 5$ und $|-5| = 5$. Die Zahlen liegen auf entgegengesetzten Seiten von $0$, haben aber denselben Abstand zu ihr.

Definition des Betrags

Für eine reelle Zahl $x$ gilt:

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Das bedeutet nicht, dass der Betrag „alles positiv macht“. Nichtnegative Zahlen bleiben unverändert, und bei negativen Zahlen wird das Vorzeichen geändert.

Denk daran als Abstand

Das beste gedankliche Modell ist der Abstand. Wenn du $|x|$ liest, denke: „der Abstand von $x$ zu $0$“.

Dieselbe Idee erklärt auch Ausdrücke wie $|a-b|$. Das ist der Abstand zwischen $a$ und $b$ auf der Zahlengeraden.

Zum Beispiel gilt:

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

also ist der Abstand zwischen $2$ und $7$ gleich $5$.

Wichtige Eigenschaften des Betrags

Diese Eigenschaften wirst du am häufigsten verwenden:

1. $|x| \ge 0$ für jede reelle Zahl $x$.
2. $|x| = 0$ nur dann, wenn $x = 0$.
3. $|-x| = |x|$.
4. $|ab| = |a||b|$ für reelle Zahlen $a$ und $b$.
5. Falls $b \ne 0$ gilt, dann ist $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

Die Bedingung $b \ne 0$ ist in der letzten Eigenschaft wichtig, weil die Division durch $0$ nicht definiert ist.

Beispiel: Löse $|x - 3| = 5$

Diese Gleichung sucht Zahlen, deren Abstand zu $3$ gleich $5$ ist.

Liegt eine Zahl $5$ Einheiten rechts von $3$, dann gilt:

$$x - 3 = 5$$

also

$$x = 8$$

Liegt eine Zahl $5$ Einheiten links von $3$, dann gilt:

$$x - 3 = -5$$

also

$$x = -2$$

Die Lösungen sind also:

$$x = 8 \quad \text{oder} \quad x = -2$$

Diese Fallunterscheidung ist das wichtigste Muster, das du dir merken solltest. Wenn $|u| = k$ und $k > 0$ gilt, löse sowohl $u = k$ als auch $u = -k$.

Häufige Fehler beim Betrag

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass $|x|$ negativ sein kann. Das ist nicht möglich. Für reelle Zahlen ist der Betrag immer mindestens $0$.

Ein weiterer häufiger Fehler ist, nur einen Fall zu lösen. Im obigen Beispiel würde man mit $x = 8$ die zweite Zahl übersehen, die ebenfalls den Abstand $5$ zu $3$ hat.

Außerdem verwechseln Schülerinnen und Schüler oft $|-x|$ und $-|x|$. Das ist nicht dasselbe. Tatsächlich gilt $|-x| = |x|$, aber $-|x|$ ist null oder negativ.

Wann der Betrag verwendet wird

Der Betrag taucht immer dann auf, wenn die Größe wichtiger ist als die Richtung.

Du siehst ihn bei Abständen auf der Zahlengeraden, bei Fehlern oder Abweichungen von einem Zielwert, in Gleichungen und Ungleichungen sowie in Formeln, bei denen nur der Betrag erhalten bleiben soll. In späterer Mathematik kommt er auch in der analytischen Geometrie, der Analysis und bei komplexen Zahlen vor, auch wenn die genaue Bedeutung vom Kontext abhängt.

Schnelle Prüfung für Gleichungen der Form $|u| = k$

Wenn du eine Gleichung wie $|u| = k$ siehst, prüfe zuerst die rechte Seite.

Falls $k < 0$, gibt es keine reelle Lösung, weil ein Betrag nicht gleich einer negativen Zahl sein kann. Falls $k = 0$, dann muss der Ausdruck innen gleich $0$ sein. Falls $k > 0$, erwarte zwei Fälle, außer beide Fälle führen zum selben Wert.

Probiere eine ähnliche Betragsaufgabe

Versuche, $|x + 4| = 9$ zu lösen. Lies das als „der Abstand zu $-4$ ist $9$“ und schreibe dann die beiden passenden Fälle auf. Wenn du deine Lösung überprüfen möchtest, setze beide Antworten wieder in die ursprüngliche Gleichung ein.