Dreiecksarten — gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig und mehr

Die wichtigsten Dreiecksarten werden entweder nach den Seitenlängen oder nach den Winkelgrößen bestimmt. Nach den Seiten ist ein Dreieck gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig. Nach den Winkeln ist es spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig.

Ein einzelnes Dreieck bekommt normalerweise eine Bezeichnung aus jeder Gruppe. Ein Dreieck kann zum Beispiel sowohl gleichschenklig als auch stumpfwinklig sein oder sowohl ungleichseitig als auch rechtwinklig. Das ist die zentrale Idee, die die meisten Schülerinnen und Schüler brauchen, wenn sie nach „Dreiecksarten“ suchen.

Dreiecksarten nach Seitenlängen

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. In der euklidischen Geometrie bedeutet das auch, dass seine drei Winkel gleich groß sind, also ist jeder Winkel $60^\circ$.

Weil alle drei Winkel kleiner als $90^\circ$ sind, ist jedes gleichseitige Dreieck auch spitzwinklig.

Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten. Die Winkel gegenüber diesen gleich langen Seiten sind ebenfalls gleich groß.

Ein gleichschenkliges Dreieck muss nicht spitzwinklig sein. Je nach seinen Winkeln kann es spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.

Ungleichseitiges Dreieck

Ein ungleichseitiges Dreieck hat drei verschieden lange Seiten. In der euklidischen Geometrie sind dann auch seine drei Winkel alle unterschiedlich.

Wie ein gleichschenkliges Dreieck kann auch ein ungleichseitiges Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.

Dreiecksarten nach Winkelgrößen

Spitzwinkliges Dreieck

Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei Winkel, die kleiner als $90^\circ$ sind.

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel, der genau $90^\circ$ groß ist.

Stumpfwinkliges Dreieck

Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel, der größer als $90^\circ$ ist. Da die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen $180^\circ$ ergeben, kann es nur einen stumpfen Winkel geben.

So klassifizierst du ein Dreieck anhand der Seitenlängen

Wenn du nur die drei Seitenlängen kennst, prüfe zuerst, ob sie überhaupt ein Dreieck bilden können. Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seitenlängen jeweils größer als die dritte sein muss.

Bestimme danach die längste Seite und nenne sie $c$. Vergleiche $c^2$ mit $a^2 + b^2$ für die beiden anderen Seiten.

$$\text{Wenn } c^2 = a^2 + b^2, \text{ ist das Dreieck rechtwinklig.}$$ $$\text{Wenn } c^2 < a^2 + b^2, \text{ ist das Dreieck spitzwinklig.}$$ $$\text{Wenn } c^2 > a^2 + b^2, \text{ ist das Dreieck stumpfwinklig.}$$

Dieser Vergleich funktioniert nur, nachdem die Seitenlängen die Dreiecksungleichung erfüllen.

Durchgerechnetes Beispiel: $5$, $5$ und $8$ klassifizieren

Angenommen, ein Dreieck hat die Seitenlängen $5$, $5$ und $8$.

Prüfe zuerst, ob es gültig ist:

$$5 + 5 > 8$$

Diese Längen bilden also tatsächlich ein Dreieck. Als Nächstes klassifizierst du nach den Seiten. Zwei Seiten sind gleich lang, also ist das Dreieck gleichschenklig.

Nun klassifizierst du nach den Winkeln. Die längste Seite ist $8$, also vergleiche:

$$8^2 = 64$$

und

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

Da $64 > 50$ gilt, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Die vollständige Einordnung lautet also: ein gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck.

Dieses Beispiel zeigt, warum die beiden Systeme getrennt bleiben sollten. „Gleichschenklig“ beschreibt die Seiten. „Stumpfwinklig“ beschreibt die Winkel.

Häufige Fehler beim Benennen von Dreiecksarten

1. Gleichseitig, gleichschenklig und ungleichseitig so zu behandeln, als wären sie dieselbe Art von Bezeichnung wie spitzwinklig, rechtwinklig und stumpfwinklig.
2. Zu vergessen, dass es von der verwendeten Konvention abhängt, ob ein gleichseitiges Dreieck auch als gleichschenklig zählt. In vielen schulischen Kontexten wird gleichseitig bei der Einordnung separat aufgeführt.
3. Ein Dreieck als ungleichseitig zu bezeichnen, bevor geprüft wurde, ob die drei Längen überhaupt ein Dreieck bilden können.
4. Anzunehmen, dass gleichschenklig immer spitzwinklig bedeutet. Das stimmt nicht.
5. Den pythagoreischen Vergleich auf Seitenlängen anzuwenden, ohne zuerst die längste Seite zu bestimmen.

Wann diese Dreiecksklassifikationen nützlich sind

Dreiecksarten kommen in der Geometrie, Trigonometrie und in vielen Aufgaben mit Zeichnungen vor. Die Einordnung zeigt oft, welche Regel oder welche Abkürzung am nützlichsten ist.

Ein rechtwinkliges Dreieck erlaubt dir zum Beispiel, den Satz des Pythagoras direkt anzuwenden. Ein gleichschenkliges Dreieck liefert eine Symmetrie mit gleichen Winkeln. Ein ungleichseitiges Dreieck erfordert meist allgemeinere Werkzeuge, weil es keine Abkürzung über gleiche Seiten gibt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, die Seitenlängen $6$, $8$ und $10$ zu klassifizieren. Bestimme zuerst die Seitenart und entscheide dann mit dem Quadratevergleich über die Winkelart. Ändere danach die längste Seite zu $11$ und schau, welcher Teil der Einordnung sich verändert.