Außenwinkel — Satz & Winkelsumme der Außenwinkel

Außenwinkel sind die Winkel außerhalb einer Figur, die entstehen, wenn du eine Seite verlängerst. Die wichtigsten Fakten sind einfach: In einem Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel, und in jedem Vieleck ergeben ein Außenwinkel an jeder Ecke zusammen $360^\circ$, wenn du sie in derselben Richtung misst.

Wenn du dir nur eine Abkürzung merkst, dann diese: Ein Innenwinkel und sein benachbarter Außenwinkel ergeben immer zusammen $180^\circ$.

Was ein Außenwinkel bedeutet

Nimm ein Vieleck und verlängere eine Seite über eine Ecke hinaus. Der Winkel zwischen dieser Verlängerung und der nächsten Seite ist ein Außenwinkel.

Dieser Außenwinkel liegt neben dem Innenwinkel an derselben Ecke, daher bilden beide zusammen eine gestreckte Linie:

$$\text{Innenwinkel} + \text{benachbarter Außenwinkel} = 180^\circ$$

Diese Beziehung ist oft der schnellste Weg, zwischen Innen- und Außenwinkeln umzurechnen.

So funktioniert der Außenwinkelsatz im Dreieck

Bei einem Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden Innenwinkel, die nicht neben ihm liegen. Diese nennt man die nicht anliegenden Innenwinkel.

Wenn die nicht anliegenden Innenwinkel $a$ und $b$ sind und der Außenwinkel $e$ ist, dann gilt

$$e = a + b$$

Das funktioniert nur mit den beiden nicht anliegenden Innenwinkeln. Der Innenwinkel neben dem Außenwinkel gehört nicht zu diesem Satz.

Warum die Außenwinkel eines Vielecks zusammen $360^\circ$ ergeben

Wenn du an jeder Ecke eines Vielecks einen Außenwinkel nimmst und sie in derselben Drehrichtung misst, ist die Summe immer

$$360^\circ$$

Das gilt für Dreiecke, Vierecke, Fünfecke und größere Vielecke. Eine hilfreiche Vorstellung ist, um die Figur herumzulaufen: Die Außenwinkel erfassen deine gesamte Drehung, und nach einem vollständigen Umlauf zeigst du wieder in deine Ausgangsrichtung. Das entspricht einer vollen Drehung von $360^\circ$.

Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Außenwinkel gleich groß, also ist jeder einzelne

$$\frac{360^\circ}{n}$$

wobei $n$ die Anzahl der Seiten ist.

Beispiel: Den Außenwinkelsatz im Dreieck anwenden

In einem Dreieck sind zwei nicht anliegende Innenwinkel $48^\circ$ und $67^\circ$. Bestimme den Außenwinkel an der dritten Ecke.

Wende den Satz direkt an:

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

Der Außenwinkel ist also $115^\circ$.

Wenn du auch den benachbarten Innenwinkel bestimmen möchtest, nutze die Beziehung der gestreckten Linie:

$$\text{benachbarter Innenwinkel} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Dieses Beispiel zeigt die beiden häufigsten Schritte:

1. Addiere die beiden nicht anliegenden Innenwinkel, um den Außenwinkel zu erhalten.
2. Ziehe von $180^\circ$ ab, wenn auch nach dem benachbarten Innenwinkel gefragt ist.

Bei einem regelmäßigen Vieleck ist das Vorgehen anders: Bestimme zuerst mit $360^\circ / n$ einen Außenwinkel und ziehe dann von $180^\circ$ ab, wenn du den Innenwinkel brauchst.

Häufige Fehler bei Außenwinkeln

Im Dreieckssatz die falschen Winkel verwenden

In einem Dreieck ist der Außenwinkel gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel, nicht des Innenwinkels direkt daneben.

Mehr als einen Außenwinkel an einer Ecke addieren

Die $360^\circ$-Regel verwendet genau einen Außenwinkel pro Ecke. Wenn du zusätzliche Winkel zählst oder verschiedene Außenwinkel an derselben Ecke mischst, passt die Summe nicht mehr zum Satz.

Die Richtungsbedingung ignorieren

Bei Vielecken nimmst du an jeder Ecke einen Außenwinkel und misst sie beim Umlaufen der Figur konsequent in derselben Drehrichtung. Genau dadurch entspricht die Summe einer vollen Drehung.

Annehmen, dass jedes Vieleck gleich große Außenwinkel hat

Nur regelmäßige Vielecke haben gleich große Außenwinkel. Unregelmäßige Vielecke haben zwar ebenfalls eine Außenwinkelsumme von $360^\circ$, aber die einzelnen Winkel können unterschiedlich sein.

Wann du Außenwinkel verwendest

Außenwinkel kommen in Beweisen zu Dreiecken, in Aufgaben zu Vieleckwinkeln und bei regelmäßigen Vielecken vor. Sie sind besonders nützlich, wenn du einen unbekannten Winkel schnell bestimmen willst, ohne zuerst jeden Winkel in der Figur auszurechnen.

Außerdem verbinden sie Geometrie mit Drehungen. Deshalb ist die Vielecksumme so stabil und leicht zu merken.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche als Nächstes ein regelmäßiges Zehneck. Bestimme zuerst einen Außenwinkel mit $360^\circ / 10$ und danach den benachbarten Innenwinkel.

Wenn du deine Überlegung Schritt für Schritt prüfen möchtest, vergleiche deine Rechnung nach dem Lösen mit einem Solver und schau nach, ob du die Außenwinkelsumme oder die Beziehung der gestreckten Linie im richtigen Moment verwendet hast.