Wechselwinkel

Wechselwinkel sind Winkel zwischen zwei Geraden und auf gegenüberliegenden Seiten einer Transversalen. Wenn die beiden Geraden parallel sind, hat jedes Wechselwinkelpaar das gleiche Maß.

Diese Bedingung ist wichtig. Wenn die Geraden nicht parallel sind, kannst du nicht annehmen, dass diese Winkel gleich groß sind.

So erkennt man Wechselwinkel

Eine Transversale ist eine Gerade, die zwei andere Geraden schneidet. Die Innenwinkel sind die Winkel im Bereich zwischen diesen beiden Geraden.

Unter diesen Innenwinkeln liegt ein Wechselwinkelpaar auf gegenüberliegenden Seiten der Transversalen. In einer Standardzeichnung ist ein Paar der innere linke Winkel am oberen Schnittpunkt zusammen mit dem inneren rechten Winkel am unteren Schnittpunkt.

Wenn du dir nicht sicher bist, prüfe der Reihe nach zwei Dinge:

1. Beide Winkel müssen zwischen den zwei Geraden liegen.
2. Die Winkel müssen auf gegenüberliegenden Seiten der Transversalen liegen.

Wann Wechselwinkel gleich groß sind

Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversalen geschnitten werden, dann sind Wechselwinkel kongruent.

Wenn die Geraden $l$ und $m$ parallel sind und die Winkel $a$ und $b$ ein Wechselwinkelpaar bilden, dann gilt

$$a = b$$

Das ist die Regel, die Schülerinnen und Schüler meist für Geometrieaufgaben brauchen. Sie gilt nur, wenn die Parallelität gegeben ist oder bereits bewiesen wurde.

Beispiel mit Rechnung

Angenommen, zwei parallele Geraden werden von einer Transversalen geschnitten. Ein Wechselwinkel ist $x + 12$ Grad groß, und sein Partner ist $68^\circ$. Bestimme $x$.

Weil die Geraden parallel sind, sind die Winkel gleich groß. Setze sie gleich und löse:

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

Der unbekannte Winkel hat also das Maß $68^\circ$, und der Wert der Variablen ist $56$. Das übliche Vorgehen ist: zuerst die Beziehung erkennen, dann die Gleichung aufstellen.

Wechselwinkel vs. Stufenwinkel

Schülerinnen und Schüler verwechseln Wechselwinkel oft mit Stufenwinkeln, weil beide auftreten, wenn eine Transversale parallele Geraden schneidet, und weil beide in diesem Fall gleich groß sind.

Der Unterschied liegt in der Lage. Wechselwinkel liegen zwischen den beiden Geraden und auf gegenüberliegenden Seiten der Transversalen. Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten in entsprechenden Eckpositionen.

Wenn du zuerst fragst „innen oder außen?“ und dann „gleiche Seite oder gegenüberliegende Seite?“, ist die Bezeichnung meist klar.

Häufige Fehler

Der häufigste Fehler ist, die Bedingung „parallele Geraden“ zu übergehen. Eine Zeichnung kann parallel aussehen, aber du darfst die Gleichheit nur verwenden, wenn in der Aufgabe steht, dass die Geraden parallel sind, oder wenn du es bewiesen hast.

Ein weiterer Fehler ist, einen Winkel außerhalb der beiden Geraden zu wählen. Wenn einer der Winkel außerhalb des Geradenpaars liegt, ist es kein Wechselwinkel.

Es gibt auch einen Umkehrsatz: Wenn eine Transversale zwei Geraden schneidet und ein Paar Wechselwinkel kongruent ist, dann sind die beiden Geraden parallel.

Wo man das in der Geometrie braucht

Wechselwinkel tauchen in Winkeljagd-Beweisen, in Dreieckszeichnungen mit parallelen Hilfsgeraden und in Aufgaben auf, in denen du begründen musst, dass zwei Geraden parallel sind.

Die Idee ist einfach, aber sie hilft dabei, eine volle Zeichnung auf eine kleinere Menge gleicher Winkel zu reduzieren, die du verfolgen kannst.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Zeichne zwei parallele Geraden und eine Transversale. Markiere einen Innenwinkel mit $115^\circ$. Bestimme seinen Wechselwinkel und dann den Innenwinkel auf derselben Seite direkt daneben.

Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, versuche deine eigene Variante mit einer Variablen wie $x + 20$ und setze sie vor dem Lösen gleich $115$.