库仑定律——电力公式与例题

库仑定律给出两个电荷之间的电力。对于真空中的两个点电荷，力的大小为

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

其中，$q_1$ 和 $q_2$ 是电荷量，$r$ 是它们之间的距离，$k \approx 8.99 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$。同种电荷相斥，异种电荷相吸。

这是大多数学生最先需要掌握的电力公式。当电荷可以看作点电荷时，或者当球对称电荷分布距离足够远、可以用中心到中心距离建模时，它都可以直接使用。在基础物理中，除非题目另有说明，空气通常近似看作真空。

库仑定律的含义

电荷量越大，作用力越强。距离越远，作用力越弱。这里最关键的规律是平方反比关系：力随 $1/r^2$ 变化，而不是随 $1/r$ 变化。

这意味着距离变为原来的 2 倍，力会变为原来的四分之一。距离减半，力会变为原来的 4 倍。

力的方向沿着连接两个电荷的直线。每个电荷受到的力大小相同，但方向相反。

库仑定律公式与变量

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

• $F$ 是电力的大小。
• $q_1$ 和 $q_2$ 是以库仑为单位的电荷量。
• $r$ 是以米为单位的间距。
• $k$ 是真空中的库仑常量。

$|q_1 q_2|$ 中使用绝对值，是因为这个公式给出的是力的大小。电荷的正负号决定方向：

• 同号 $\rightarrow$ 排斥
• 异号 $\rightarrow$ 吸引

公式何时适用

如果题目涉及点电荷，或者较大的带电体在远处可以近似为点电荷，就可以直接使用库仑定律。对于形状复杂或电荷分布在材料内部的延展物体，这个公式本身可能还不够。

要特别注意距离。公式中的 $r$ 是两个电荷之间的间距，通常按中心到中心测量。

库仑定律例题

设

• $q_1 = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $q_2 = -3.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $r = 0.50\ \mathrm{m}$

求电力的大小，并判断它是吸引力还是排斥力。

先写出库仑定律：

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

代入数值：

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{|(2.0 \times 10^{-6})(-3.0 \times 10^{-6})|}{(0.50)^2}$$

先计算电荷乘积：

$$|q_1 q_2| = 6.0 \times 10^\{-12\}\ \mathrm\{C^2\}$$

再计算距离的平方：

$$r^2 = 0.25\ \mathrm{m^2}$$

现在计算电力：

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{6.0 \times 10^{-12}}{0.25} \approx 0.216\ \mathrm{N}$$

所以，电力大小约为 $0.22\ \mathrm{N}$。由于两个电荷异号，因此该力是吸引力。

库仑定律中的常见错误

• 代入前忘记把微库仑换算成库仑。
• 分母误写成 $r$，而不是 $r^2$。
• 把距离按表面到表面测量，而不是中心到中心。
• 对任何大尺寸或不规则带电体都把该公式当作精确适用。
• 混淆大小和方向。上面的公式给出的是大小；电荷符号决定是吸引还是排斥。

库仑定律的应用

库仑定律是静电学中的基础工具。它用于计算带电粒子之间的作用力，建立电场的概念，并在进入更高级方法之前分析简单的电荷分布。

它也有助于快速进行比例判断。如果电荷量不变而距离变为原来的 3 倍，力就会变为原来的 $1/9$。这种数量级变化的判断，在很多情况下比完整计算更有用。

库仑定律与电场的区别

库仑定律告诉你电荷之间的作用力。电场告诉你某一点单位电荷所受的力。这两个概念联系非常紧密，但并不相同。

如果你已经知道某点的电场 $E$，那么该处电荷 $q$ 所受的力为 $F = qE$。如果你是直接从两个电荷出发分析，库仑定律通常是第一步。

试着做一道类似的题

保持电荷量不变，把距离从 $0.50\ \mathrm{m}$ 改为 $1.0\ \mathrm{m}$。求新的电力，并与 $0.22\ \mathrm{N}$ 比较。仅这一个变化，就足以让平方反比规律变得更直观。接下来一个很好的延伸是学习电势，并比较它的 $1/r$ 依赖与库仑力的 $1/r^2$ 依赖。