쿨롱 법칙 — 전기력 공식과 예제

쿨롱 법칙은 두 전하 사이에 작용하는 전기력을 나타냅니다. 진공 속 두 점전하에 대해 힘의 크기는 다음과 같습니다.

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

여기서 $q_1$과 $q_2$는 전하량, $r$은 두 전하 사이의 거리이며, $k \approx 8.99 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$입니다. 같은 부호의 전하는 서로 밀어내고, 다른 부호의 전하는 서로 끌어당깁니다.

이 식은 대부분의 학생이 가장 먼저 배우는 전기력 공식입니다. 전하를 점전하로 볼 수 있을 때 바로 적용할 수 있고, 구대칭 전하분포도 충분히 멀리 떨어져 있어 중심 간 거리를 쓰는 모델이 적절하면 사용할 수 있습니다. 기초 물리에서는 문제에서 따로 말하지 않는 한 공기를 거의 진공처럼 취급하는 경우가 많습니다.

쿨롱 법칙의 의미

전하량이 클수록 힘은 더 커집니다. 전하 사이 거리가 멀수록 힘은 더 약해집니다. 핵심은 역제곱 관계로, 힘이 $1/r$이 아니라 $1/r^2$에 비례한다는 점입니다.

즉 거리를 2배로 하면 힘은 원래의 4분의 1이 됩니다. 거리를 절반으로 줄이면 힘은 4배가 됩니다.

힘은 두 전하를 잇는 직선 방향으로 작용합니다. 각 전하는 크기가 같은 힘을 받지만, 방향은 서로 반대입니다.

쿨롱 법칙 공식과 변수

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

• $F$는 전기력의 크기입니다.
• $q_1$과 $q_2$는 쿨롱 단위의 전하량입니다.
• $r$은 미터 단위의 두 전하 사이 거리입니다.
• $k$는 진공에서의 쿨롱 상수입니다.

$|q_1 q_2|$에 절댓값이 있는 이유는 이 식이 힘의 크기만 주기 때문입니다. 방향은 전하의 부호로 판단합니다.

• 같은 부호 $\rightarrow$ 반발
• 다른 부호 $\rightarrow$ 인력

이 공식이 적용되는 경우

문제가 점전하를 다루거나, 큰 대전체도 멀리서 보면 점전하처럼 근사할 수 있다면 쿨롱 법칙을 직접 사용할 수 있습니다. 하지만 크기가 있는 물체의 모양이 복잡하거나 전하가 물질 전체에 퍼져 있다면, 이 공식만으로는 충분하지 않을 수 있습니다.

거리 해석에는 특히 주의해야 합니다. 식의 $r$은 두 전하 사이의 거리이며, 보통 중심에서 중심까지의 거리로 잽니다.

쿨롱 법칙 예제

다음과 같다고 합시다.

• $q_1 = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $q_2 = -3.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $r = 0.50\ \mathrm{m}$

전기력의 크기를 구하고, 인력인지 반발력인지 판단해 봅시다.

먼저 쿨롱 법칙을 씁니다.

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

값을 대입하면

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{|(2.0 \times 10^{-6})(-3.0 \times 10^{-6})|}{(0.50)^2}$$

전하량을 곱하면

$$|q_1 q_2| = 6.0 \times 10^\{-12\}\ \mathrm\{C^2\}$$

거리를 제곱하면

$$r^2 = 0.25\ \mathrm{m^2}$$

이제 힘을 계산하면

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{6.0 \times 10^{-12}}{0.25} \approx 0.216\ \mathrm{N}$$

따라서 힘의 크기는 약 $0.22\ \mathrm{N}$입니다. 두 전하의 부호가 서로 반대이므로 힘은 인력입니다.

쿨롱 법칙에서 자주 하는 실수

• 값을 대입하기 전에 마이크로쿨롱을 쿨롱으로 변환하지 않는 경우
• 분모에 $r^2$ 대신 $r$을 쓰는 경우
• 거리를 중심 간이 아니라 표면 간 거리로 재는 경우
• 크거나 불규칙한 모든 대전체에 이 공식을 정확히 적용할 수 있다고 생각하는 경우
• 힘의 크기와 방향을 혼동하는 경우. 위 식은 크기만 주고, 인력인지 반발인지는 전하의 부호가 알려 줍니다.

쿨롱 법칙은 어디에 쓰일까

쿨롱 법칙은 정전기학의 기본 도구입니다. 대전 입자 사이의 힘을 계산할 때 쓰이고, 전기장의 개념을 세우는 데도 쓰이며, 더 고급 방법으로 넘어가기 전에 간단한 전하 배치를 분석하는 데 활용됩니다.

또한 빠른 비례 추론에도 도움이 됩니다. 전하량이 그대로이고 거리가 3배가 되면 힘은 원래의 $1/9$이 됩니다. 이런 스케일링은 때로는 전체 계산보다 더 유용합니다.

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙은 전하 사이의 힘을 알려 줍니다. 전기장은 어떤 위치에서 단위 전하당 받는 힘을 뜻합니다. 두 개념은 밀접하게 연결되어 있지만 같은 것은 아닙니다.

어떤 점에서 전기장 $E$를 이미 알고 있다면, 그곳에 있는 전하 $q$가 받는 힘은 $F = qE$입니다. 반대로 두 전하에서 직접 출발한다면 보통 첫 단계는 쿨롱 법칙입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

전하량은 그대로 두고 거리를 $0.50\ \mathrm{m}$에서 $1.0\ \mathrm{m}$로 바꿔 보세요. 새로운 힘을 구한 뒤 $0.22\ \mathrm{N}$과 비교해 보세요. 이 한 가지 변화만으로도 역제곱 관계를 훨씬 더 분명하게 느낄 수 있습니다. 다음 단계로는 전위를 공부하면서, 전위의 $1/r$ 의존성과 쿨롱 힘의 $1/r^2$ 의존성을 비교해 보는 것도 좋습니다.