Coulombsches Gesetz — Formel der elektrischen Kraft & Beispiele

Das Coulombsche Gesetz gibt die elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen an. Für zwei Punktladungen im Vakuum ist der Betrag der Kraft

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

wobei $q_1$ und $q_2$ die Ladungen sind, $r$ ihr Abstand ist und $k \approx 8.99 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab. Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.

Das ist die Formel für die elektrische Kraft, die die meisten Schüler und Studierenden zuerst brauchen. Sie funktioniert direkt, wenn die Ladungen als Punktladungen behandelt werden können oder wenn kugelsymmetrische Ladungsverteilungen weit genug entfernt sind, sodass der Abstand von Mittelpunkt zu Mittelpunkt das richtige Modell ist. In der Anfangsphysik wird Luft meist als ausreichend nahe am Vakuum behandelt, sofern die Aufgabe nichts anderes sagt.

Was das Coulombsche Gesetz bedeutet

Die Kraft wird stärker, wenn die Ladungen größer sind. Sie wird schwächer, wenn die Ladungen weiter voneinander entfernt sind. Das entscheidende Muster ist die Abhängigkeit vom inversen Quadrat: Die Kraft skaliert wie $1/r^2$, nicht wie $1/r$.

Das bedeutet: Verdoppelt man den Abstand, wird die Kraft auf ein Viertel reduziert. Halbiert man den Abstand, wird die Kraft viermal so groß.

Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie zwischen den beiden Ladungen. Jede Ladung erfährt eine Kraft mit demselben Betrag, aber in entgegengesetzter Richtung.

Formel des Coulombschen Gesetzes und Variablen

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

• $F$ ist der Betrag der elektrischen Kraft.
• $q_1$ und $q_2$ sind die Ladungen in Coulomb.
• $r$ ist der Abstand in Metern.
• $k$ ist die Coulomb-Konstante im Vakuum.

Der Absolutbetrag in $|q_1 q_2|$ steht dort, weil diese Formel den Betrag liefert. Die Vorzeichen der Ladungen geben die Richtung an:

• gleiches Vorzeichen $\rightarrow$ Abstoßung
• entgegengesetztes Vorzeichen $\rightarrow$ Anziehung

Wann die Formel gilt

Verwende das Coulombsche Gesetz direkt, wenn die Aufgabe Punktladungen enthält oder wenn größere geladene Objekte aus großer Entfernung als Punktladungen angenähert werden können. Bei ausgedehnten Objekten mit komplizierten Formen oder mit im Material verteilter Ladung reicht diese Formel allein möglicherweise nicht aus.

Achte besonders auf den Abstand. Das $r$ in der Formel ist der Abstand zwischen den Ladungen, meist gemessen von Mittelpunkt zu Mittelpunkt.

Beispiel zum Coulombschen Gesetz

Angenommen,

• $q_1 = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $q_2 = -3.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $r = 0.50\ \mathrm{m}$

Bestimme den Betrag der elektrischen Kraft und entscheide, ob sie anziehend oder abstoßend ist.

Beginne mit dem Coulombschen Gesetz:

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

Setze die Werte ein:

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{|(2.0 \times 10^{-6})(-3.0 \times 10^{-6})|}{(0.50)^2}$$

Multipliziere die Ladungen:

$$|q_1 q_2| = 6.0 \times 10^\{-12\}\ \mathrm\{C^2\}$$

Quadriere den Abstand:

$$r^2 = 0.25\ \mathrm{m^2}$$

Berechne nun die Kraft:

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{6.0 \times 10^{-12}}{0.25} \approx 0.216\ \mathrm{N}$$

Der Betrag der Kraft ist also etwa $0.22\ \mathrm{N}$. Da die Ladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben, ist die Kraft anziehend.

Häufige Fehler beim Coulombschen Gesetz

• Vergessen, Mikrocoulomb vor dem Einsetzen in Coulomb umzurechnen.
• Im Nenner $r$ statt $r^2$ zu verwenden.
• Den Abstand von Oberfläche zu Oberfläche statt von Mittelpunkt zu Mittelpunkt zu messen.
• Die Formel für jedes große oder unregelmäßig geladene Objekt als exakt zu behandeln.
• Betrag und Richtung zu verwechseln. Die Formel oben gibt die Größe an; die Vorzeichen der Ladungen zeigen, ob Anziehung oder Abstoßung vorliegt.

Wo das Coulombsche Gesetz verwendet wird

Das Coulombsche Gesetz ist ein grundlegendes Werkzeug der Elektrostatik. Es wird verwendet, um Kräfte zwischen geladenen Teilchen zu berechnen, die Idee des elektrischen Feldes aufzubauen und einfache Ladungsanordnungen zu analysieren, bevor man zu fortgeschritteneren Methoden übergeht.

Es hilft auch bei schnellen Proportionalitätsüberlegungen. Wenn die Ladungen gleich bleiben und sich der Abstand verdreifacht, wird die Kraft zu $1/9$ des ursprünglichen Werts. Diese Art der Skalierung ist oft nützlicher als eine vollständige Rechnung.

Coulombsches Gesetz vs. elektrisches Feld

Das Coulombsche Gesetz beschreibt die Kraft zwischen Ladungen. Das elektrische Feld beschreibt die Kraft pro Ladungseinheit an einem Ort. Die beiden Konzepte sind eng miteinander verbunden, aber sie sind nicht dasselbe.

Wenn du das elektrische Feld $E$ an einem Punkt bereits kennst, dann ist die Kraft auf eine Ladung $q$ dort $F = qE$. Wenn du direkt von zwei Ladungen ausgehst, ist das Coulombsche Gesetz meist der erste Schritt.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Behalte dieselben Ladungen bei und ändere den Abstand von $0.50\ \mathrm{m}$ auf $1.0\ \mathrm{m}$. Berechne die neue Kraft und vergleiche sie mit $0.22\ \mathrm{N}$. Diese eine Änderung reicht aus, um das Muster des inversen Quadrats anschaulich zu machen. Ein sinnvoller nächster Schritt ist es, das elektrische Potenzial zu untersuchen und seine $1/r$-Abhängigkeit mit der $1/r^2$-Abhängigkeit der Coulomb-Kraft zu vergleichen.