Νόμος του Coulomb — Τύπος Ηλεκτρικής Δύναμης & Παραδείγματα

Ο νόμος του Coulomb δίνει την ηλεκτρική δύναμη ανάμεσα σε δύο φορτία. Για δύο σημειακά φορτία στο κενό, το μέτρο της δύναμης είναι

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

όπου τα $q_1$ και $q_2$ είναι τα φορτία, το $r$ είναι η απόσταση μεταξύ τους και $k \approx 8.99 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$. Ομώνυμα φορτία απωθούνται. Ετερώνυμα φορτία έλκονται.

Αυτός είναι ο βασικός τύπος της ηλεκτρικής δύναμης που χρειάζονται πρώτα οι περισσότεροι μαθητές. Εφαρμόζεται άμεσα όταν τα φορτία μπορούν να θεωρηθούν σημειακά ή όταν σφαιρικά συμμετρικές κατανομές φορτίου βρίσκονται αρκετά μακριά ώστε η απόσταση από κέντρο σε κέντρο να είναι το σωστό μοντέλο. Στην εισαγωγική φυσική, ο αέρας συνήθως θεωρείται αρκετά κοντά στο κενό, εκτός αν η άσκηση λέει κάτι διαφορετικό.

Τι Σημαίνει ο Νόμος του Coulomb

Η δύναμη γίνεται μεγαλύτερη όταν τα φορτία είναι μεγαλύτερα. Γίνεται μικρότερη όταν τα φορτία απέχουν περισσότερο. Το βασικό μοτίβο είναι η εξάρτηση από το αντίστροφο του τετραγώνου: η δύναμη μεταβάλλεται όπως $1/r^2$, όχι όπως $1/r$.

Αυτό σημαίνει ότι αν διπλασιάσεις την απόσταση, η δύναμη γίνεται στο ένα τέταρτο. Αν μειώσεις την απόσταση στο μισό, η δύναμη γίνεται τετραπλάσια.

Η δύναμη δρα κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα δύο φορτία. Κάθε φορτίο δέχεται δύναμη ίδιου μέτρου, αλλά με αντίθετη κατεύθυνση.

Τύπος του Νόμου του Coulomb και Μεταβλητές

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

• Το $F$ είναι το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης.
• Τα $q_1$ και $q_2$ είναι τα φορτία σε coulomb.
• Το $r$ είναι η απόσταση μεταξύ τους σε μέτρα.
• Το $k$ είναι η σταθερά του Coulomb στο κενό.

Η απόλυτη τιμή στο $|q_1 q_2|$ υπάρχει επειδή αυτός ο τύπος δίνει το μέτρο. Τα πρόσημα των φορτίων σου δείχνουν την κατεύθυνση:

• ίδιο πρόσημο $\rightarrow$ άπωση
• αντίθετο πρόσημο $\rightarrow$ έλξη

Πότε Εφαρμόζεται ο Τύπος

Χρησιμοποίησε τον νόμο του Coulomb απευθείας αν το πρόβλημα περιλαμβάνει σημειακά φορτία ή αν μεγαλύτερα φορτισμένα σώματα μπορούν να προσεγγιστούν ως σημειακά από μεγάλη απόσταση. Για εκτεταμένα σώματα με πολύπλοκα σχήματα ή με φορτίο κατανεμημένο μέσα στο υλικό, αυτός ο τύπος μπορεί να μην αρκεί από μόνος του.

Πρόσεχε ιδιαίτερα την απόσταση. Το $r$ στον τύπο είναι η απόσταση μεταξύ των φορτίων, συνήθως μετρημένη από κέντρο σε κέντρο.

Παράδειγμα Νόμου του Coulomb

Έστω ότι

• $q_1 = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $q_2 = -3.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$
• $r = 0.50\ \mathrm{m}$

Να βρεθεί το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης και να αποφασιστεί αν είναι ελκτική ή απωστική.

Ξεκινάμε από τον νόμο του Coulomb:

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{|(2.0 \times 10^{-6})(-3.0 \times 10^{-6})|}{(0.50)^2}$$

Πολλαπλασιάζουμε τα φορτία:

$$|q_1 q_2| = 6.0 \times 10^\{-12\}\ \mathrm\{C^2\}$$

Υψώνουμε στο τετράγωνο την απόσταση:

$$r^2 = 0.25\ \mathrm{m^2}$$

Τώρα υπολογίζουμε τη δύναμη:

$$F = (8.99 \times 10^9)\frac{6.0 \times 10^{-12}}{0.25} \approx 0.216\ \mathrm{N}$$

Άρα το μέτρο της δύναμης είναι περίπου $0.22\ \mathrm{N}$. Επειδή τα φορτία έχουν αντίθετα πρόσημα, η δύναμη είναι ελκτική.

Συνηθισμένα Λάθη στον Νόμο του Coulomb

• Να ξεχνάς να μετατρέψεις τα microcoulomb σε coulomb πριν αντικαταστήσεις τις τιμές.
• Να χρησιμοποιείς $r$ αντί για $r^2$ στον παρονομαστή.
• Να μετράς την απόσταση από επιφάνεια σε επιφάνεια αντί από κέντρο σε κέντρο.
• Να θεωρείς τον τύπο ακριβή για οποιοδήποτε μεγάλο ή ακανόνιστο φορτισμένο σώμα.
• Να μπερδεύεις το μέτρο με την κατεύθυνση. Ο παραπάνω τύπος δίνει το μέγεθος· τα πρόσημα των φορτίων δείχνουν αν υπάρχει έλξη ή άπωση.

Πού Χρησιμοποιείται ο Νόμος του Coulomb

Ο νόμος του Coulomb είναι βασικό εργαλείο στην ηλεκτροστατική. Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό δυνάμεων μεταξύ φορτισμένων σωματιδίων, για τη θεμελίωση της έννοιας του ηλεκτρικού πεδίου και για την ανάλυση απλών διατάξεων φορτίων πριν περάσεις σε πιο προχωρημένες μεθόδους.

Βοηθά επίσης σε γρήγορη αναλογική σκέψη. Αν τα φορτία μένουν ίδια και η απόσταση τριπλασιαστεί, η δύναμη γίνεται $1/9$ της αρχικής τιμής. Αυτού του είδους η κλιμάκωση είναι συχνά πιο χρήσιμη από έναν πλήρη υπολογισμό.

Νόμος του Coulomb vs. Ηλεκτρικό Πεδίο

Ο νόμος του Coulomb σου δίνει τη δύναμη μεταξύ φορτίων. Το ηλεκτρικό πεδίο σου δίνει τη δύναμη ανά μονάδα φορτίου σε ένα σημείο. Οι δύο έννοιες συνδέονται στενά, αλλά δεν είναι το ίδιο πράγμα.

Αν γνωρίζεις ήδη το ηλεκτρικό πεδίο $E$ σε ένα σημείο, τότε η δύναμη σε φορτίο $q$ εκεί είναι $F = qE$. Αν ξεκινάς απευθείας από δύο φορτία, ο νόμος του Coulomb είναι συνήθως το πρώτο βήμα.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Κράτησε τα ίδια φορτία και άλλαξε την απόσταση από $0.50\ \mathrm{m}$ σε $1.0\ \mathrm{m}$. Υπολόγισε τη νέα δύναμη και σύγκρινέ τη με τα $0.22\ \mathrm{N}$. Αυτή η μία αλλαγή αρκεί για να γίνει πιο συγκεκριμένη η εξάρτηση από το αντίστροφο του τετραγώνου. Ένα χρήσιμο επόμενο βήμα είναι να μελετήσεις το ηλεκτρικό δυναμικό και να συγκρίνεις την εξάρτησή του $1/r$ με την εξάρτηση $1/r^2$ της δύναμης Coulomb.