比率——化简、比较与应用题

比率按固定顺序比较两个量。比如一个班有 $12$ 个女生和 $8$ 个男生，那么女生与男生的比是 $12:8$ ，化简后是 $3:2$ 。

这并不表示班里只有 $3$ 个女生和 $2$ 个男生。它表示这种比较关系是等价的：每 $3$ 个女生对应 $2$ 个男生。

数学中的比率是什么意思

比率表示一个量与另一个量之间的关系。你可以把它写成 $a:b$ ，读作“a 比 b”，也可以在把这种比较看作商时写成 $\frac{a}{b}$ ，其中 $b \neq 0$ 。

顺序很重要。比率 $3:2$ 和 $2:3$ 不一样，因为第一个数始终对应先提到的那个量。

当两个量表示同一种事物时，比率最容易理解；如果单位不同，就要先统一单位。比如比较 $2$ 米和 $50$ 厘米时，先换算：

2 \text{ m} = 200 \text{ cm}

所以比率是

200:50 = 4:1

化简比率时，要把两部分同时除以同一个公因数。这和分数约分很像，但结果仍然保留比的形式。

例如：

12:8 = 3:2

因为两部分都能被 $4$ 整除：

12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2

化简后的比率保持的是同样的比较关系。它只是更容易阅读，并不会改变原来的关系。

如果两个数除了 $1$ 以外没有更大的公因数，那么这个比率已经是最简形式。

假设一种颜料混合中，红色和蓝色的比是 $2:3$ 。如果你用了 $10$ 杯红色颜料，需要多少杯蓝色颜料？

这个比率表示每 $2$ 份红色对应 $3$ 份蓝色。

如果红色从 $2$ 份变成 $10$ 杯，那么放大倍数是 $5$ ，因为

2 \times 5 = 10

蓝色也要乘以同样的倍数：

3 \times 5 = 15

所以你需要 $15$ 杯蓝色颜料。

关键在于两部分必须按相同的倍数同时变化。这样才能保持比率 $2:3$ 不变。

大多数比率应用题会让你做下面三类事情之一：

在每种情况下，思路都是一样的：保持顺序不变，并让比较关系前后一致。

一个常见错误是把“部分对部分”和“部分对整体”的比较混淆。如果男生:女生 = $2:3$ ，那么总份数是 $5$ ，所以男生占全班的 $\frac{2}{5}$ ，而不是 $\frac{2}{3}$ 。

如果题目要求写猫:狗，而你写成狗:猫，那么数字可能没错，但这个比率仍然是错的。

把 $1$ 小时和 $30$ 分钟直接写成 $1:30$ 是错误的，因为单位不同。应先换算：

1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}

所以比率是

60:30 = 2:1

$5:2$ 并不表示第一个量一定“多 $3$ ”，至少这不是题目真正关心的关系。比率表示的是倍数关系，而不只是差多少。

如果你改变了比率的一边，另一边也必须按相同倍数变化。否则，这个比较关系就变了。

比率会出现在食谱、地图、比例图、混合液、课堂人数比较，以及许多关于等价关系的代数问题中。

当真正的问题是“一个量和另一个量相比是多少”，而不是“总共有多少”时，比率尤其有用。

一种零食混合中，坚果和葡萄干的比是 $4:1$ 。如果你有 $20$ 杯坚果，需要多少杯葡萄干才能保持相同的配比？

然后写出葡萄干与坚果的比，并检查你是否正确把顺序反过来了。如果你想再进一步，可以把坚果改成 $12$ 杯，再不看例题自己解一次。

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