单价与单位率——如何计算及解决实际问题

单位率表示：对于另一种量恰好 $1$ 个单位时，对应有多少。比如苹果 $3$ 磅卖 $12$ 美元，单位率就是每 $1$ 磅的价格。

要求单位率，就用你想变成 $1$ 的那个量去除。在苹果这个例子里，用美元除以磅数：

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ pounds}} = 4 \text{ dollars per pound}$$

这很重要，因为“每 $1$”的形式最容易拿来比较。

什么是单位率？

比率用来比较两个不同单位的量，比如英里和小时，或者美元和磅。单位率就是把这个比较改写成其中一个量等于 $1$ 的形式。

也就是说：

$$\text{unit rate} = \frac{\text{first quantity}}{\text{second quantity}}$$

当你想得到“每 $1$ 个第二种量”的答案时，就用这个形式。第二个量不能是 $0$，因为除以 $0$ 没有定义。

所以：

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ pounds}} = \frac{4 \text{ dollars}}{1 \text{ pound}}$$

这个单位率就是每磅 $4$ 美元。

为什么单位率能帮助你更快比较

单位率能把复杂的比较变成统一的格式。与其比较“$3$ 磅 $12$ 美元”和“$4$ 磅 $15$ 美元”，不如直接比较每磅多少钱。

同样的思路也会出现在速度、工资、油耗和定价中。汽车可能用每小时多少英里来表示速度，工人可能按每小时多少美元计薪，商店也可能标出每盎司的价格。

例题：哪种笔记本套装更划算？

假设一家商店 $3$ 本笔记本卖 $12$ 美元，另一家商店 $5$ 本卖 $18$ 美元。哪一种平均到每本更便宜？

先分别求出每 $1$ 本笔记本的价格。

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ notebooks}} = 4 \text{ dollars per notebook}$$

以及

$$\frac{18 \text{ dollars}}{5 \text{ notebooks}} = 3.6 \text{ dollars per notebook}$$

现在比较就很清楚了：每本 $3.6$ 美元小于每本 $4$ 美元，所以第二家商店更划算。

这就是大多数单位率应用题的基本模式。把每个选项都改写成“$1$ 件商品的价格”“$1$ 小时走的距离”或其他“每 $1$”的形式，再进行比较。

如何求单位率

1. 找出要比较的两个量及它们的单位。
2. 确定要把哪个量写成相对于另一个量的每 $1$ 单位。
3. 用你想变成 $1$ 的那个量去除。
4. 在答案中保留单位。
5. 检查结果是否符合实际情境。

如果题目要求每小时多少英里，就用英里数除以小时数。如果要求每磅多少美元，就用美元除以磅数。题目的表述很重要，因为它会告诉你哪个量应该放在上面。

单位率问题中的常见错误

颠倒顺序

如果题目要求每本笔记本多少美元，答案应当是美元除以笔记本本数，而不是笔记本本数除以美元。把比率顺序颠倒，含义就变了。

丢掉单位

只有数字是不够的。结果是 $4$，可能表示每本笔记本 $4$ 美元、每小时 $4$ 英里，或者完全不同的意思。

比较总量而不是单位率

总价更高并不一定代表更不划算。比较之前，你需要先求出每 $1$ 件商品或每 $1$ 个单位的价格。

除错了量

分母必须是你想变成 $1$ 的那个量。如果你想求“每小时”，就除以小时数；如果你想求“每磅”，就除以磅数。

单位率用在哪里？

单位率会出现在购物、出行、工资、食谱、体育统计和科学中。当两个选项的包装大小不同，或者对应的时间长短不同时，它尤其有用。

它也和单位换算有很自然的联系。当你认真跟踪单位时，就能看出你的列式是否符合题目的实际含义。

试试类似的问题

你可以自己用杂货、燃油或时薪来试一题。把每个选项都改写成每 $1$ 个单位的比率，再比较结果。如果你还想学习另一种日常数学技能，可以看看与比例相关的类似问题。