部分分式分解

部分分式分解是把一个有理式改写成若干个更简单分式之和的方法。通常是在分母完成因式分解之后使用，这样能让积分或代数运算更容易进行。

第一步检查很重要：分子次数必须小于分母次数。满足这个条件时，这个有理式称为真分式。若不满足，就要先做多项式除法，再对余下部分进行分解。

部分分式分解是什么意思

有理式是两个多项式的商，例如

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

部分分式分解要问的是，这样一个单独的分式能否改写成下面这样的和：

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

如果这两种形式对所有允许的 $x$ 都相等，那么常数 $A$ 和 $B$ 就用更简单的结构表示了同一个式子。

什么时候可以使用部分分式分解

这种方法适用于分母已经在所使用的数系中完成因式分解的有理式。在大多数初等微积分课程里，这通常意味着在实数范围内分解因式。

分母的形式决定了分式的设法：

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

这就是整个方法的核心思想。如果因式分解有误或不完整，那么设出的形式也会出错。

例题：分解一个有理式

分解

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

因为分母有两个不同的一次因式，所以先设

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

两边同乘 $(x + 1)(x + 2)$，消去分母：

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

展开右边：

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

现在比较两边对应项的系数：

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

第二个方程减去第一个方程：

$$A = 2.$$

于是

$$B = 3.$$

所以分解结果为

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

你可以把右边重新通分来验证：

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

分母不同时，设法如何变化

设法始终由分母中的因式决定。

如果分母有不同的一次因式，就使用常数分子：

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

如果一次因式重复出现，就要把每一个幂次都写出来，直到重复的最高次：

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

如果一个二次因式在实数范围内不能继续分解，就要使用一次分子：

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

最后这一种情况很容易出错。对于不可约二次因式，一般来说只用常数分子是不够的。

部分分式分解中的常见错误

1. 跳过次数检查。如果这个分式是假分式，应该先做多项式除法，再做部分分式分解，而不是反过来。
2. 忘记重因式。对于 $(x-1)^3$，你需要包含 $(x-1)$、$(x-1)^2$ 和 $(x-1)^3$ 对应的项。
3. 在不可约二次因式上只写常数分子。在实数范围内，分子应当是一次式。
4. 求出了常数，却没有把分式重新合并来检查结果。

部分分式分解用在哪里

这种方法最常见于微积分和代数。在微积分中，当分母完成因式分解后，它对有理函数积分尤其有用。在代数中，它也能让有理式更容易化简或比较。

具体形式取决于你的课程里什么样的式子算作因式。比如，一个在实数范围内不可约的二次式，在复数范围内可能可以继续分解，这就会改变分解形式。

试试一道类似的题

试着分解

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

把它设为

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

求出 $A$ 和 $B$，然后把结果重新通分检查。如果你想再进一步，可以再试一个带有重因式的例子，观察设法是如何变化的。