Décomposition en fractions partielles

La décomposition en fractions partielles réécrit une expression rationnelle comme une somme de fractions plus simples. On l’utilise après avoir factorisé le dénominateur, généralement pour faciliter l’intégration ou les manipulations algébriques.

La première vérification est importante : le degré du numérateur doit être inférieur à celui du dénominateur. Quand cette condition est satisfaite, l’expression est dite propre. Si ce n’est pas le cas, faites d’abord une division polynomiale, puis décomposez le reste.

Ce que signifie la décomposition en fractions partielles

Une expression rationnelle est un quotient de polynômes, comme

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

La décomposition en fractions partielles consiste à se demander si cette fraction unique peut être réécrite comme une somme du type

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Si les deux formes sont égales pour toutes les valeurs autorisées de $x$, alors les constantes $A$ et $B$ représentent la même expression dans une structure plus simple.

Quand peut-on utiliser la décomposition en fractions partielles

Cette méthode fonctionne pour les expressions rationnelles une fois que le dénominateur est factorisé dans le système de nombres utilisé. Dans la plupart des premiers cours de calcul différentiel et intégral, cela signifie une factorisation sur les nombres réels.

La forme du dénominateur détermine la forme de la décomposition :

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

C’est toute l’idée de la méthode. Si la factorisation est fausse ou incomplète, la mise en place le sera aussi.

Exemple détaillé : décomposer une expression rationnelle

Décomposez

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Comme le dénominateur a deux facteurs linéaires distincts, on commence par

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Multipliez les deux membres par $(x + 1)(x + 2)$ pour éliminer les dénominateurs :

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Développez le membre de droite :

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Faites maintenant correspondre les coefficients des deux côtés :

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Soustrayez la première équation de la seconde :

$$A = 2.$$

Puis

$$B = 3.$$

La décomposition est donc

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Vous pouvez le vérifier en recombinant le membre de droite :

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Comment la mise en place change selon les dénominateurs

La mise en place vient toujours des facteurs du dénominateur.

Si le dénominateur a des facteurs linéaires distincts, utilisez des numérateurs constants :

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Si un facteur linéaire est répété, incluez chaque puissance jusqu’à cette répétition :

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Si un facteur quadratique ne peut pas être factorisé davantage sur les réels, utilisez un numérateur linéaire :

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Ce dernier cas provoque beaucoup d’erreurs. Un numérateur constant ne suffit généralement pas pour un facteur quadratique irréductible.

Erreurs fréquentes en décomposition en fractions partielles

1. Oublier de vérifier le degré. Si la fraction est impropre, la décomposition en fractions partielles doit venir après la division polynomiale, pas avant.
2. Oublier les facteurs répétés. Pour $(x-1)^3$, il faut des termes pour $(x-1)$, $(x-1)^2$ et $(x-1)^3$.
3. Utiliser seulement des constantes au-dessus d’un facteur quadratique irréductible. Sur les réels, le numérateur doit être linéaire.
4. Trouver les constantes sans vérifier le résultat en recombinant les fractions.

Où la décomposition en fractions partielles est utilisée

Cette méthode apparaît surtout en calcul différentiel et intégral et en algèbre. En calcul, elle est particulièrement utile pour intégrer des fonctions rationnelles après factorisation du dénominateur. En algèbre, elle peut rendre une expression rationnelle plus facile à simplifier ou à comparer.

La forme exacte dépend de ce qui est considéré comme un facteur dans votre cours. Par exemple, un polynôme quadratique irréductible sur les réels peut se factoriser sur les complexes, ce qui changerait la décomposition.

Essayez un problème similaire

Essayez de décomposer

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Mettez-le sous la forme

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

résolvez pour $A$ et $B$, puis recombinez le résultat pour le vérifier. Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez aussi un cas avec un facteur répété et observez comment la mise en place change.