Decomposição em Frações Parciais

A decomposição em frações parciais reescreve uma expressão racional como uma soma de frações mais simples. Você a usa depois de fatorar o denominador, geralmente para facilitar integrais ou manipulações algébricas.

A primeira verificação é importante: o grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador. Quando essa condição é satisfeita, a expressão é chamada de própria. Se isso não acontecer, faça primeiro a divisão de polinômios e depois decomponha o resto.

O Que Significa Decomposição em Frações Parciais

Uma expressão racional é um quociente de polinômios, como

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

A decomposição em frações parciais pergunta se essa única fração pode ser reescrita como uma soma do tipo

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Se as duas formas forem iguais para todo $x$ permitido, então as constantes $A$ e $B$ representam a mesma expressão em uma estrutura mais simples.

Quando Você Pode Usar Decomposição em Frações Parciais

Esse método funciona para expressões racionais depois que o denominador é fatorado no sistema numérico que você está usando. Na maioria dos cursos iniciais de cálculo, isso significa fatorar nos números reais.

A forma do denominador determina a forma das frações:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Essa estrutura é a ideia central. Se a fatoração estiver errada ou incompleta, a montagem também estará errada.

Exemplo Resolvido: Decompondo Uma Expressão Racional

Decomponha

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Como o denominador tem dois fatores lineares distintos, começamos com

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Multiplique os dois lados por $(x + 1)(x + 2)$ para eliminar os denominadores:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Expanda o lado direito:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Agora iguale os coeficientes dos dois lados:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Subtraia a primeira equação da segunda:

$$A = 2.$$

Então

$$B = 3.$$

Logo, a decomposição é

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Você pode verificar recombinando o lado direito:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Como a Montagem Muda com Diferentes Denominadores

A montagem sempre vem dos fatores no denominador.

Se o denominador tiver fatores lineares distintos, use numeradores constantes:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Se um fator linear se repetir, inclua todas as potências até essa repetição:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Se um fator quadrático não puder ser fatorado mais nos números reais, use um numerador linear:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Esse último caso causa muitos erros. Em geral, um numerador constante não é suficiente para um fator quadrático irredutível.

Erros Comuns em Frações Parciais

1. Pular a verificação do grau. Se a fração for imprópria, as frações parciais devem vir depois da divisão de polinômios, não antes.
2. Esquecer fatores repetidos. Para $(x-1)^3$, você precisa de termos para $(x-1)$, $(x-1)^2$ e $(x-1)^3$.
3. Usar apenas constantes sobre um fator quadrático irredutível. Nos números reais, o numerador deve ser linear.
4. Encontrar as constantes, mas não conferir o resultado recombinando as frações.

Onde a Decomposição em Frações Parciais É Usada

Esse método aparece com mais frequência em cálculo e álgebra. Em cálculo, ele é especialmente útil para integrar funções racionais depois que o denominador foi fatorado. Em álgebra, pode tornar uma expressão racional mais fácil de simplificar ou comparar.

A forma exata depende do que conta como fator no seu curso. Por exemplo, um quadrático que permanece irredutível nos números reais pode se fatorar nos números complexos, e isso mudaria a decomposição.

Tente Um Problema Parecido

Tente decompor

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Monte como

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

resolva para $A$ e $B$ e depois recombine o resultado para conferir. Se quiser ir um passo além, explore outro caso com fator repetido e observe como a montagem muda.