Dekomposisi Pecahan Parsial

Dekomposisi pecahan parsial menulis ulang sebuah ekspresi rasional sebagai jumlah dari pecahan-pecahan yang lebih sederhana. Metode ini digunakan setelah penyebut difaktorkan, biasanya agar proses integrasi atau aljabar menjadi lebih mudah.

Pemeriksaan pertama ini penting: derajat pembilang harus lebih kecil daripada derajat penyebut. Jika syarat itu terpenuhi, ekspresi tersebut disebut proper. Jika tidak, lakukan pembagian polinomial terlebih dahulu lalu uraikan sisanya.

Apa Arti Dekomposisi Pecahan Parsial

Ekspresi rasional adalah hasil bagi dua polinomial, seperti

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Dekomposisi pecahan parsial menanyakan apakah satu pecahan itu dapat ditulis ulang sebagai jumlah seperti

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Jika kedua bentuk itu sama untuk semua nilai $x$ yang diperbolehkan, maka konstanta $A$ dan $B$ merepresentasikan ekspresi yang sama dalam bentuk yang lebih sederhana.

Kapan Anda Bisa Menggunakan Dekomposisi Pecahan Parsial

Metode ini bekerja untuk ekspresi rasional setelah penyebut difaktorkan pada sistem bilangan yang digunakan. Dalam kebanyakan mata kuliah kalkulus awal, itu berarti pemfaktoran pada bilangan real.

Bentuk penyebut menentukan bentuk pecahannya:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Struktur itulah inti dari idenya. Jika faktorisasinya salah atau belum lengkap, bentuk penyusunannya juga akan salah.

Contoh Soal: Uraikan Sebuah Ekspresi Rasional

Uraikan

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Karena penyebut memiliki dua faktor linear yang berbeda, mulai dengan

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Kalikan kedua ruas dengan $(x + 1)(x + 2)$ untuk menghilangkan penyebut:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Kembangkan ruas kanan:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Sekarang cocokkan koefisien di kedua ruas:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:

$$A = 2.$$

Lalu

$$B = 3.$$

Jadi dekomposisinya adalah

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Anda dapat memverifikasinya dengan menggabungkan kembali ruas kanan:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Bagaimana Bentuk Penyusunan Berubah untuk Penyebut yang Berbeda

Bentuk penyusunan selalu berasal dari faktor-faktor pada penyebut.

Jika penyebut memiliki faktor linear yang berbeda, gunakan pembilang berupa konstanta:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Jika suatu faktor linear berulang, sertakan setiap pangkat hingga pengulangan tersebut:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Jika suatu faktor kuadrat tidak dapat difaktorkan lebih lanjut pada bilangan real, gunakan pembilang linear:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Kasus terakhir itu sering menimbulkan banyak kesalahan. Pembilang berupa konstanta saja umumnya tidak cukup untuk faktor kuadrat tak tereduksi.

Kesalahan Umum dalam Pecahan Parsial

1. Melewatkan pemeriksaan derajat. Jika pecahannya improper, pecahan parsial harus dilakukan setelah pembagian polinomial, bukan sebelumnya.
2. Melupakan faktor berulang. Untuk $(x-1)^3$, Anda memerlukan suku untuk $(x-1)$, $(x-1)^2$, dan $(x-1)^3$.
3. Hanya menggunakan konstanta di atas faktor kuadrat tak tereduksi. Pada bilangan real, pembilangnya harus linear.
4. Menentukan konstanta tetapi tidak memeriksa hasilnya dengan menggabungkan kembali pecahan-pecahan tersebut.

Di Mana Dekomposisi Pecahan Parsial Digunakan

Metode ini paling sering muncul dalam kalkulus dan aljabar. Dalam kalkulus, metode ini sangat berguna untuk mengintegralkan fungsi rasional setelah penyebut difaktorkan. Dalam aljabar, metode ini dapat membuat ekspresi rasional lebih mudah disederhanakan atau dibandingkan.

Bentuk tepatnya bergantung pada apa yang dianggap sebagai faktor dalam mata kuliah Anda. Misalnya, suatu kuadrat yang tetap tak tereduksi pada bilangan real mungkin dapat difaktorkan pada bilangan kompleks, dan itu akan mengubah dekomposisinya.

Coba Soal Serupa

Coba uraikan

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Susun sebagai

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

tentukan $A$ dan $B$, lalu gabungkan kembali hasilnya untuk memeriksa. Jika ingin melangkah lebih jauh, coba kasus lain dengan faktor berulang dan perhatikan bagaimana bentuk penyusunannya berubah.