การแยกเศษส่วนย่อย

การแยกเศษส่วนย่อยคือการเขียนนิพจน์เศษส่วนของพหุนามใหม่ให้อยู่ในรูปผลบวกของเศษส่วนที่ง่ายกว่า วิธีนี้ใช้หลังจากแยกตัวประกอบของตัวส่วนแล้ว โดยมักใช้เพื่อให้งานอินทิเกรตหรือการจัดรูปพีชคณิตทำได้ง่ายขึ้น

สิ่งแรกที่ต้องตรวจสอบสำคัญมาก: ดีกรีของตัวเศษต้องน้อยกว่าดีกรีของตัวส่วน เมื่อเป็นเช่นนี้ นิพจน์จะเรียกว่าเป็นเศษส่วนแท้ ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ให้หารพหุนามก่อน แล้วจึงแยกเศษส่วนย่อยของเศษที่เหลือ

การแยกเศษส่วนย่อยหมายถึงอะไร

นิพจน์เศษส่วนของพหุนามคือผลหารของพหุนาม เช่น

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

การแยกเศษส่วนย่อยถามว่าเศษส่วนเดียวนี้สามารถเขียนใหม่เป็นผลบวกในรูป

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

ได้หรือไม่

ถ้าทั้งสองรูปมีค่าเท่ากันสำหรับทุกค่า $x$ ที่นิยามได้ ค่าคงที่ $A$ และ $B$ ก็จะแทนนิพจน์เดียวกัน แต่ในโครงสร้างที่ง่ายกว่า

ใช้การแยกเศษส่วนย่อยได้เมื่อไร

วิธีนี้ใช้ได้กับนิพจน์เศษส่วนของพหุนามหลังจากแยกตัวประกอบของตัวส่วนในระบบจำนวนที่กำลังใช้อยู่แล้ว ในวิชาแคลคูลัสเบื้องต้นส่วนใหญ่ นั่นหมายถึงการแยกตัวประกอบเหนือจำนวนจริง

รูปของตัวส่วนจะเป็นตัวกำหนดรูปของเศษส่วน:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

โครงสร้างนี้คือแนวคิดหลักทั้งหมด ถ้าแยกตัวประกอบผิดหรือยังไม่ครบ การตั้งรูปก็จะผิดตามไปด้วย

ตัวอย่างทำจริง: แยกนิพจน์เศษส่วนของพหุนาม

จงแยก

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

เนื่องจากตัวส่วนมีตัวประกอบเชิงเส้นที่ต่างกันสองตัว ให้เริ่มด้วย

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

คูณทั้งสองข้างด้วย $(x + 1)(x + 2)$ เพื่อตัดตัวส่วน:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

กระจายพจน์ทางขวา:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

ตอนนี้เปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของทั้งสองข้าง:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

นำสมการแรกไปลบออกจากสมการที่สอง:

$$A = 2.$$

ดังนั้น

$$B = 3.$$

จึงได้การแยกเป็น

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

คุณสามารถตรวจสอบได้โดยรวมเศษส่วนทางขวากลับอีกครั้ง:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

การตั้งรูปเปลี่ยนอย่างไรเมื่อมีตัวส่วนต่างกัน

การตั้งรูปจะมาจากตัวประกอบในตัวส่วนเสมอ

ถ้าตัวส่วนมีตัวประกอบเชิงเส้นที่ต่างกัน ให้ใช้ตัวเศษเป็นค่าคงที่:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

ถ้าตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำกัน ให้ใส่ทุกกำลังจนถึงกำลังที่ซ้ำ:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

ถ้าตัวประกอบกำลังสองไม่สามารถแยกต่อได้เหนือจำนวนจริง ให้ใช้ตัวเศษเป็นพหุนามเชิงเส้น:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

กรณีสุดท้ายนี้ทำให้เกิดข้อผิดพลาดบ่อยมาก โดยทั่วไปแล้ว ตัวเศษที่เป็นค่าคงที่อย่างเดียวไม่เพียงพอสำหรับตัวประกอบกำลังสองที่แยกต่อไม่ได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแยกเศษส่วนย่อย

1. ข้ามการตรวจสอบดีกรี ถ้าเศษส่วนเป็นเศษเกิน ควรทำการแยกเศษส่วนย่อยหลังจากหารพหุนาม ไม่ใช่ก่อน
2. ลืมตัวประกอบซ้ำ สำหรับ $(x-1)^3$ คุณต้องมีพจน์สำหรับ $(x-1)$, $(x-1)^2$ และ $(x-1)^3$
3. ใช้เฉพาะค่าคงที่เหนือตัวประกอบกำลังสองที่แยกต่อไม่ได้ เหนือจำนวนจริง ตัวเศษควรเป็นพหุนามเชิงเส้น
4. หาค่าคงที่ได้แล้วแต่ไม่ตรวจคำตอบด้วยการรวมเศษส่วนกลับ

การแยกเศษส่วนย่อยถูกใช้ที่ไหน

วิธีนี้พบได้บ่อยที่สุดในแคลคูลัสและพีชคณิต ในแคลคูลัส วิธีนี้มีประโยชน์อย่างมากในการอินทิเกรตฟังก์ชันเศษส่วนของพหุนามหลังจากแยกตัวประกอบของตัวส่วนแล้ว ในพีชคณิต วิธีนี้ช่วยให้นิพจน์เศษส่วนย่อรูปหรือเปรียบเทียบได้ง่ายขึ้น

รูปแบบที่แน่นอนขึ้นอยู่กับว่าในรายวิชาของคุณ อะไรนับเป็นตัวประกอบได้บ้าง ตัวอย่างเช่น พหุนามกำลังสองที่ยังแยกต่อไม่ได้เหนือจำนวนจริง อาจแยกได้เหนือจำนวนเชิงซ้อน และนั่นจะทำให้รูปการแยกเปลี่ยนไป

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแยก

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

โดยตั้งรูปเป็น

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

แล้วหาค่า $A$ และ $B$ จากนั้นรวมผลลัพธ์กลับเพื่อตรวจสอบ ถ้าคุณอยากลองต่ออีกขั้น ให้ลองกรณีที่มีตัวประกอบซ้ำ แล้วสังเกตว่าการตั้งรูปเปลี่ยนไปอย่างไร