Descomposición en fracciones parciales

La descomposición en fracciones parciales reescribe una expresión racional como una suma de fracciones más simples. Se usa después de factorizar el denominador, normalmente para facilitar la integración o el trabajo algebraico.

La primera comprobación es importante: el grado del numerador debe ser menor que el del denominador. Cuando se cumple esa condición, la expresión se llama propia. Si no se cumple, primero haz la división de polinomios y luego descompón el resto.

Qué significa la descomposición en fracciones parciales

Una expresión racional es un cociente de polinomios, como

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

La descomposición en fracciones parciales pregunta si esa fracción única puede reescribirse como una suma del tipo

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Si las dos formas son iguales para todos los valores permitidos de $x$, entonces las constantes $A$ y $B$ representan la misma expresión con una estructura más simple.

Cuándo se puede usar la descomposición en fracciones parciales

Este método funciona para expresiones racionales después de factorizar el denominador en el sistema numérico que estés usando. En la mayoría de los cursos iniciales de cálculo, eso significa factorizar sobre los números reales.

La forma del denominador determina la forma de las fracciones:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Esa estructura es la idea central. Si la factorización es incorrecta o está incompleta, el planteamiento también será incorrecto.

Ejemplo resuelto: descomponer una expresión racional

Descompón

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Como el denominador tiene dos factores lineales distintos, empieza con

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Multiplica ambos lados por $(x + 1)(x + 2)$ para eliminar denominadores:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Desarrolla el lado derecho:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Ahora iguala coeficientes en ambos lados:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Resta la primera ecuación de la segunda:

$$A = 2.$$

Entonces

$$B = 3.$$

Así que la descomposición es

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Puedes verificarlo combinando de nuevo el lado derecho:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Cómo cambia el planteamiento con distintos denominadores

El planteamiento siempre proviene de los factores del denominador.

Si el denominador tiene factores lineales distintos, usa numeradores constantes:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Si un factor lineal se repite, incluye cada potencia hasta esa repetición:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Si un factor cuadrático no puede factorizarse más sobre los números reales, usa un numerador lineal:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Ese último caso provoca muchos errores. En general, un numerador constante no es suficiente para un factor cuadrático irreducible.

Errores comunes en fracciones parciales

1. Omitir la comprobación del grado. Si la fracción es impropia, las fracciones parciales deben hacerse después de la división de polinomios, no antes.
2. Olvidar los factores repetidos. Para $(x-1)^3$, necesitas términos para $(x-1)$, $(x-1)^2$ y $(x-1)^3$.
3. Usar solo constantes sobre un factor cuadrático irreducible. Sobre los números reales, el numerador debe ser lineal.
4. Resolver las constantes pero no comprobar el resultado volviendo a combinar las fracciones.

Dónde se usa la descomposición en fracciones parciales

Este método aparece con más frecuencia en cálculo y álgebra. En cálculo, es especialmente útil para integrar funciones racionales después de factorizar el denominador. En álgebra, puede hacer que una expresión racional sea más fácil de simplificar o comparar.

La forma exacta depende de lo que cuente como factor en tu curso. Por ejemplo, un cuadrático que sigue siendo irreducible sobre los números reales puede factorizarse sobre los números complejos, y eso cambiaría la descomposición.

Prueba un problema similar

Intenta descomponer

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Plántéalo como

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

resuelve $A$ y $B$, y luego vuelve a combinar el resultado para comprobarlo. Si quieres ir un paso más allá, explora otro caso con un factor repetido y observa cómo cambia el planteamiento.