부분분수 분해

부분분수 분해는 유리식을 더 단순한 분수들의 합으로 다시 쓰는 방법입니다. 보통 분모를 인수분해한 뒤 사용하며, 적분이나 대수 계산을 더 쉽게 만들기 위해 씁니다.

가장 먼저 확인할 것은 차수입니다. 분자의 차수는 분모의 차수보다 작아야 합니다. 이 조건을 만족하면 그 식을 진분수형이라고 합니다. 조건을 만족하지 않으면 먼저 다항식 나눗셈을 하고, 그다음 나머지에 대해 분해합니다.

부분분수 분해의 의미

유리식은 다항식의 몫으로 이루어진 식입니다. 예를 들면

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

부분분수 분해는 이 하나의 분수를 다음과 같은 합으로 다시 쓸 수 있는지를 묻습니다.

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

두 식이 허용되는 모든 $x$에 대해 같다면, 상수 $A$와 $B$는 같은 식을 더 단순한 구조로 나타내는 역할을 합니다.

부분분수 분해를 사용할 수 있는 경우

이 방법은 사용하는 수 체계에서 분모를 인수분해한 뒤의 유리식에 적용할 수 있습니다. 대부분의 초반 미적분 과정에서는 실수 범위에서 인수분해한다는 뜻입니다.

분모의 형태가 분수식의 형태를 결정합니다.

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

이 구조가 핵심입니다. 인수분해가 틀렸거나 불완전하면, 세운 식도 함께 틀리게 됩니다.

예제: 유리식 분해하기

다음을 분해해 봅시다.

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

분모에 서로 다른 두 일차인수가 있으므로, 다음과 같이 시작합니다.

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

분모를 없애기 위해 양변에 $(x + 1)(x + 2)$를 곱합니다.

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

오른쪽을 전개하면

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

이제 양변의 계수를 비교합니다.

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면

$$A = 2.$$

그러면

$$B = 3.$$

따라서 분해 결과는

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

오른쪽을 다시 통분해서 확인할 수도 있습니다.

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

분모가 달라지면 식 세우는 방법도 어떻게 달라질까

식의 형태는 항상 분모의 인수에서 나옵니다.

분모가 서로 다른 일차인수들로 이루어져 있으면, 분자는 상수로 둡니다.

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

일차인수가 중복되면, 그 거듭제곱마다 항을 모두 포함해야 합니다.

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

이차인수가 실수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않으면, 분자는 일차식으로 둡니다.

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

마지막 경우에서 실수가 많이 나옵니다. 기약이차인수 위에 상수만 두는 것은 일반적으로 충분하지 않습니다.

부분분수 분해에서 자주 하는 실수

1. 차수 확인을 건너뛰는 것. 가분수형이면 부분분수 분해 전에 먼저 다항식 나눗셈을 해야 합니다.
2. 중복인수를 빼먹는 것. $(x-1)^3$이라면 $(x-1)$, $(x-1)^2$, $(x-1)^3$에 대한 항이 모두 필요합니다.
3. 기약이차인수 위에 상수만 두는 것. 실수 범위에서는 분자가 일차식이어야 합니다.
4. 상수를 구해 놓고도 분수들을 다시 합쳐 검산하지 않는 것.

부분분수 분해는 어디에 쓰일까

이 방법은 미적분과 대수에서 가장 자주 등장합니다. 미적분에서는 특히 분모를 인수분해한 뒤 유리함수를 적분할 때 유용합니다. 대수에서는 유리식을 더 쉽게 정리하거나 비교할 수 있게 해 줍니다.

정확한 형태는 수업에서 무엇을 인수로 인정하는지에 따라 달라집니다. 예를 들어 실수 범위에서는 기약인 이차식이 복소수 범위에서는 인수분해될 수 있고, 그러면 분해 형태도 달라집니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 분해해 보세요.

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

다음과 같이 놓고

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

$A$와 $B$를 구한 뒤 결과를 다시 합쳐 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 중복인수가 있는 경우도 살펴보면서 식의 형태가 어떻게 달라지는지 확인해 보세요.