Phân tích phân thức thành phân số riêng

Phân tích phân thức thành phân số riêng viết lại một biểu thức hữu tỉ thành tổng của các phân thức đơn giản hơn. Bạn dùng phương pháp này sau khi đã phân tích mẫu số thành nhân tử, thường để việc tích phân hoặc biến đổi đại số trở nên dễ hơn.

Bước kiểm tra đầu tiên rất quan trọng: bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của mẫu số. Khi điều kiện đó đúng, biểu thức được gọi là phân thức đúng. Nếu không đúng, hãy chia đa thức trước rồi mới phân tích phần dư.

Phân Tích Phân Số Riêng Có Nghĩa Là Gì

Một biểu thức hữu tỉ là thương của các đa thức, chẳng hạn như

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Phân tích phân số riêng đặt câu hỏi liệu một phân thức duy nhất đó có thể được viết lại thành tổng như

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Nếu hai dạng này bằng nhau với mọi giá trị $x$ được phép, thì các hằng số $A$ và $B$ biểu diễn cùng một biểu thức nhưng dưới dạng đơn giản hơn.

Khi Nào Có Thể Dùng Phân Tích Phân Số Riêng

Phương pháp này áp dụng cho các biểu thức hữu tỉ sau khi mẫu số đã được phân tích thành nhân tử trong hệ số mà bạn đang dùng. Trong hầu hết các khóa giải tích nhập môn, điều đó có nghĩa là phân tích trên tập số thực.

Dạng của mẫu số quyết định dạng của các phân thức:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Đó chính là ý tưởng cốt lõi. Nếu việc phân tích nhân tử sai hoặc chưa đầy đủ, cách thiết lập cũng sẽ sai.

Ví Dụ Có Lời Giải: Phân Tích Một Biểu Thức Hữu Tỉ

Phân tích

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Vì mẫu số có hai nhân tử bậc nhất phân biệt, ta bắt đầu với

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Nhân cả hai vế với $(x + 1)(x + 2)$ để khử mẫu:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Khai triển vế phải:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Bây giờ so khớp các hệ số ở hai vế:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:

$$A = 2.$$

Khi đó

$$B = 3.$$

Vậy phân tích là

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Bạn có thể kiểm tra bằng cách cộng lại vế phải:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Cách Thiết Lập Thay Đổi Với Các Mẫu Số Khác Nhau

Cách thiết lập luôn xuất phát từ các nhân tử trong mẫu số.

Nếu mẫu số có các nhân tử bậc nhất phân biệt, dùng tử số là hằng số:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Nếu một nhân tử bậc nhất lặp lại, hãy đưa vào mọi lũy thừa cho đến bậc lặp đó:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Nếu một nhân tử bậc hai không thể phân tích thêm trên tập số thực, hãy dùng tử số bậc nhất:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Trường hợp cuối cùng này gây ra rất nhiều lỗi. Nói chung, chỉ dùng tử số là hằng số là không đủ đối với một nhân tử bậc hai không phân tích được.

Những Lỗi Thường Gặp Khi Phân Tích Phân Số Riêng

1. Bỏ qua bước kiểm tra bậc. Nếu phân thức là phân thức không đúng, phải phân tích thành phân số riêng sau khi chia đa thức, không phải trước.
2. Quên các nhân tử lặp. Với $(x-1)^3$, bạn cần các hạng tử cho $(x-1)$, $(x-1)^2$ và $(x-1)^3$.
3. Chỉ dùng hằng số trên một nhân tử bậc hai không phân tích được. Trên tập số thực, tử số phải là biểu thức bậc nhất.
4. Tìm được các hằng số nhưng không kiểm tra lại bằng cách cộng các phân thức.

Phân Tích Phân Số Riêng Được Dùng Ở Đâu

Phương pháp này xuất hiện nhiều nhất trong giải tích và đại số. Trong giải tích, nó đặc biệt hữu ích khi tính tích phân các hàm hữu tỉ sau khi mẫu số đã được phân tích thành nhân tử. Trong đại số, nó có thể giúp một biểu thức hữu tỉ dễ rút gọn hoặc dễ so sánh hơn.

Dạng chính xác phụ thuộc vào việc trong khóa học của bạn, cái gì được xem là một nhân tử. Ví dụ, một tam thức bậc hai không phân tích được trên tập số thực có thể phân tích được trên tập số phức, và điều đó sẽ làm thay đổi cách phân tích.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy thử phân tích

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Thiết lập dưới dạng

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

giải để tìm $A$ và $B$, rồi cộng lại kết quả để kiểm tra. Nếu muốn đi thêm một bước, hãy thử một trường hợp khác có nhân tử lặp và quan sát cách thiết lập thay đổi.