Kısmi Kesirlere Ayırma

Kısmi kesirlere ayırma, bir rasyonel ifadeyi daha basit kesirlerin toplamı olarak yeniden yazar. Genellikle integrali veya cebirsel işlemleri kolaylaştırmak için, payda çarpanlarına ayrıldıktan sonra kullanılır.

İlk kontrol önemlidir: payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmalıdır. Bu koşul sağlanıyorsa ifade bileşik kesir değildir. Sağlanmıyorsa önce polinom bölmesi yapılır, ardından kalan ifade kısmi kesirlere ayrılır.

Kısmi Kesirlere Ayırma Ne Anlama Gelir?

Rasyonel ifade, polinomların bir bölümü yani bir oranıdır. Örneğin

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Kısmi kesirlere ayırma, bu tek kesrin aşağıdaki gibi bir toplam olarak yazılıp yazılamayacağını sorar:

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Eğer bu iki biçim izin verilen tüm $x$ değerleri için eşitse, o zaman $A$ ve $B$ sabitleri aynı ifadeyi daha basit bir yapıda temsil eder.

Kısmi Kesirlere Ayırmayı Ne Zaman Kullanabilirsiniz?

Bu yöntem, kullandığınız sayı sistemi üzerinde payda çarpanlarına ayrıldıktan sonra rasyonel ifadelerde çalışır. İlk kalkülüs derslerinin çoğunda bu, gerçek sayılar üzerinde çarpanlara ayırma anlamına gelir.

Paydanın yapısı, kesirlerin biçimini belirler:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Temel fikir tamamen budur. Çarpanlara ayırma yanlış ya da eksikse, kurulan ifade de yanlış olur.

Çözümlü Örnek: Bir Rasyonel İfadeyi Kısmi Kesirlere Ayırma

Aşağıdaki ifadeyi kısmi kesirlere ayırın:

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Paydada iki farklı lineer çarpan olduğu için şu biçimle başlayın:

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Paydaları yok etmek için her iki tarafı da $(x + 1)(x + 2)$ ile çarpın:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Sağ tarafı açın:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Şimdi her iki taraftaki katsayıları eşleştirin:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

İkinci denklemden birinci denklemi çıkarın:

$$A = 2.$$

Buna göre

$$B = 3.$$

Dolayısıyla ayrışım şöyledir:

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Bunu, sağ tarafı yeniden birleştirerek doğrulayabilirsiniz:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Farklı Paydalarda Kurulum Nasıl Değişir?

Kurulum her zaman paydadaki çarpanlardan gelir.

Eğer paydada farklı lineer çarpanlar varsa, sabit paylar kullanılır:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Eğer bir lineer çarpan tekrarlanıyorsa, o tekrar derecesine kadar tüm kuvvetler yazılır:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Eğer ikinci dereceden bir çarpan gerçek sayılar üzerinde daha fazla çarpanlara ayrılamıyorsa, lineer bir pay kullanılır:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Bu son durum çok hata yapılmasına neden olur. İndirgenemez ikinci dereceden bir çarpan için genel olarak sabit pay yeterli değildir.

Kısmi Kesirlere Ayırmada Yaygın Hatalar

1. Derece kontrolünü atlamak. Kesir bileşik kesirse, kısmi kesirlere ayırma polinom bölmesinden önce değil sonra yapılmalıdır.
2. Tekrarlı çarpanları unutmak. $(x-1)^3$ için $(x-1)$, $(x-1)^2$ ve $(x-1)^3$ terimlerinin hepsi gerekir.
3. İndirgenemez ikinci dereceden bir çarpanın üstünde yalnızca sabit kullanmak. Gerçek sayılar üzerinde pay lineer olmalıdır.
4. Sabitleri bulup sonucu, kesirleri yeniden birleştirerek kontrol etmemek.

Kısmi Kesirlere Ayırma Nerede Kullanılır?

Bu yöntem en sık kalkülüs ve cebirde karşınıza çıkar. Kalkülüste özellikle, payda çarpanlara ayrıldıktan sonra rasyonel fonksiyonların integralini alırken çok kullanışlıdır. Cebirde ise bir rasyonel ifadeyi sadeleştirmeyi veya karşılaştırmayı kolaylaştırabilir.

Kesin biçim, dersinizde neyin çarpan kabul edildiğine bağlıdır. Örneğin gerçek sayılar üzerinde indirgenemez kalan bir ikinci dereceden ifade, karmaşık sayılar üzerinde çarpanlara ayrılabilir ve bu da ayrışımı değiştirir.

Benzer Bir Soru Deneyin

Şunu kısmi kesirlere ayırmayı deneyin:

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Şu şekilde kurun:

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

$A$ ve $B$ için çözün, sonra sonucu kontrol etmek için yeniden birleştirin. Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, tekrarlı çarpan içeren başka bir durumu inceleyin ve kurulumun nasıl değiştiğine dikkat edin.