Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung schreibt einen rationalen Ausdruck als Summe einfacherer Brüche um. Man verwendet sie nach dem Faktorisieren des Nenners, meist um Integration oder algebraische Umformungen zu erleichtern.

Die erste Prüfung ist wichtig: Der Grad des Zählers muss kleiner sein als der Grad des Nenners. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, heißt der Ausdruck echt gebrochen. Ist das nicht der Fall, führt man zuerst eine Polynomdivision durch und zerlegt danach den Rest.

Was Partialbruchzerlegung bedeutet

Ein rationaler Ausdruck ist ein Quotient aus Polynomen, zum Beispiel

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Bei der Partialbruchzerlegung fragt man, ob sich dieser einzelne Bruch als Summe wie

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$$

schreiben lässt.

Wenn beide Formen für alle zulässigen $x$ gleich sind, dann beschreiben die Konstanten $A$ und $B$ denselben Ausdruck in einer einfacheren Struktur.

Wann man die Partialbruchzerlegung verwenden kann

Diese Methode funktioniert bei rationalen Ausdrücken, nachdem der Nenner im verwendeten Zahlbereich faktorisiert wurde. In den meisten frühen Analysis-Kursen bedeutet das: Faktorisieren über den reellen Zahlen.

Die Form des Nenners bestimmt die Form der Brüche:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Genau das ist die Grundidee. Ist die Faktorisierung falsch oder unvollständig, ist auch der Ansatz falsch.

Durchgerechnetes Beispiel: Einen rationalen Ausdruck zerlegen

Zerlege

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Da der Nenner zwei verschiedene lineare Faktoren hat, beginnt man mit

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Multipliziere beide Seiten mit $(x + 1)(x + 2)$, um die Nenner zu beseitigen:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Multipliziere die rechte Seite aus:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Vergleiche nun die Koeffizienten auf beiden Seiten:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten:

$$A = 2.$$

Dann gilt

$$B = 3.$$

Also ist die Zerlegung

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Du kannst das überprüfen, indem du die rechte Seite wieder zusammenfasst:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Wie sich der Ansatz bei verschiedenen Nennern ändert

Der Ansatz ergibt sich immer aus den Faktoren im Nenner.

Hat der Nenner verschiedene lineare Faktoren, verwendet man konstante Zähler:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Wenn sich ein linearer Faktor wiederholt, muss jede Potenz bis zu dieser Vielfachheit vorkommen:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Wenn sich ein quadratischer Faktor über den reellen Zahlen nicht weiter faktorisieren lässt, verwendet man einen linearen Zähler:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Gerade dieser letzte Fall führt zu vielen Fehlern. Für einen irreduziblen quadratischen Faktor reicht ein konstanter Zähler im Allgemeinen nicht aus.

Häufige Fehler bei der Partialbruchzerlegung

1. Die Gradprüfung überspringen. Wenn der Bruch unecht ist, kommt die Partialbruchzerlegung erst nach der Polynomdivision, nicht davor.
2. Wiederholte Faktoren vergessen. Für $(x-1)^3$ brauchst du Terme für $(x-1)$, $(x-1)^2$ und $(x-1)^3$.
3. Bei einem irreduziblen quadratischen Faktor nur Konstanten verwenden. Über den reellen Zahlen sollte der Zähler linear sein.
4. Die Konstanten bestimmen, aber das Ergebnis nicht durch Zusammenfassen der Brüche überprüfen.

Wo die Partialbruchzerlegung verwendet wird

Diese Methode kommt am häufigsten in Analysis und Algebra vor. In der Analysis ist sie besonders nützlich, um rationale Funktionen nach dem Faktorisieren des Nenners zu integrieren. In der Algebra kann sie einen rationalen Ausdruck leichter vereinfachbar oder vergleichbar machen.

Die genaue Form hängt davon ab, was in deinem Kurs als Faktor gilt. Ein quadratischer Ausdruck, der über den reellen Zahlen irreduzibel bleibt, kann sich zum Beispiel über den komplexen Zahlen faktorisieren lassen, und das würde die Zerlegung verändern.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, den Ausdruck

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

zu zerlegen.

Setze an als

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

bestimme $A$ und $B$ und fasse das Ergebnis dann wieder zusammen, um es zu überprüfen. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, betrachte einen weiteren Fall mit einem wiederholten Faktor und achte darauf, wie sich der Ansatz verändert.