Ανάλυση σε Μερικά Κλάσματα

Η ανάλυση σε μερικά κλάσματα ξαναγράφει μια ρητή παράσταση ως άθροισμα απλούστερων κλασμάτων. Τη χρησιμοποιείς αφού παραγοντοποιήσεις τον παρονομαστή, συνήθως για να γίνει πιο εύκολη η ολοκλήρωση ή η αλγεβρική επεξεργασία.

Ο πρώτος έλεγχος είναι σημαντικός: ο βαθμός του αριθμητή πρέπει να είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή. Όταν ισχύει αυτή η συνθήκη, η παράσταση λέγεται γνήσια. Αν δεν ισχύει, κάνε πρώτα πολυωνυμική διαίρεση και μετά ανέλυσε το υπόλοιπο.

Τι σημαίνει ανάλυση σε μερικά κλάσματα

Μια ρητή παράσταση είναι πηλίκο πολυωνύμων, όπως

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Η ανάλυση σε μερικά κλάσματα ρωτά αν αυτό το ένα κλάσμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως άθροισμα όπως

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Αν οι δύο μορφές είναι ίσες για κάθε επιτρεπτή τιμή του $x$, τότε οι σταθερές $A$ και $B$ εκφράζουν την ίδια παράσταση με απλούστερη δομή.

Πότε μπορείς να χρησιμοποιήσεις την ανάλυση σε μερικά κλάσματα

Αυτή η μέθοδος λειτουργεί για ρητές παραστάσεις αφού ο παρονομαστής παραγοντοποιηθεί στο αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείς. Στα περισσότερα αρχικά μαθήματα λογισμού, αυτό σημαίνει παραγοντοποίηση στους πραγματικούς αριθμούς.

Η μορφή του παρονομαστή καθορίζει τη μορφή των κλασμάτων:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Αυτή είναι όλη η βασική ιδέα. Αν η παραγοντοποίηση είναι λανθασμένη ή ελλιπής, τότε και το στήσιμο θα είναι λανθασμένο.

Λυμένο παράδειγμα: Ανάλυση μιας ρητής παράστασης

Ανάλυσε την παράσταση

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Επειδή ο παρονομαστής έχει δύο διαφορετικούς γραμμικούς παράγοντες, ξεκινάμε με

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Πολλαπλασίασε και τα δύο μέλη με $(x + 1)(x + 2)$ για να φύγουν οι παρονομαστές:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Ανάπτυξε το δεξί μέλος:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Τώρα ταίριαξε τους συντελεστές στα δύο μέλη:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Αφαίρεσε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη:

$$A = 2.$$

Τότε

$$B = 3.$$

Άρα η ανάλυση είναι

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Μπορείς να το επαληθεύσεις συνδυάζοντας ξανά το δεξί μέλος:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Πώς αλλάζει το στήσιμο με διαφορετικούς παρονομαστές

Το στήσιμο προκύπτει πάντα από τους παράγοντες του παρονομαστή.

Αν ο παρονομαστής έχει διαφορετικούς γραμμικούς παράγοντες, χρησιμοποιείς σταθερούς αριθμητές:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Αν ένας γραμμικός παράγοντας επαναλαμβάνεται, συμπεριλαμβάνεις κάθε δύναμη μέχρι τον βαθμό επανάληψης:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Αν ένας τετραγωνικός παράγοντας δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί περισσότερο στους πραγματικούς αριθμούς, χρησιμοποιείς γραμμικό αριθμητή:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Αυτή η τελευταία περίπτωση προκαλεί πολλά λάθη. Ένας σταθερός αριθμητής γενικά δεν αρκεί για έναν μη αναγώγιμο τετραγωνικό παράγοντα.

Συνηθισμένα λάθη στην ανάλυση σε μερικά κλάσματα

1. Παράλειψη του ελέγχου βαθμού. Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό, η ανάλυση σε μερικά κλάσματα πρέπει να γίνει μετά την πολυωνυμική διαίρεση, όχι πριν.
2. Παράλειψη επαναλαμβανόμενων παραγόντων. Για το $(x-1)^3$, χρειάζεσαι όρους για $(x-1)$, $(x-1)^2$ και $(x-1)^3$.
3. Χρήση μόνο σταθερών πάνω από έναν μη αναγώγιμο τετραγωνικό παράγοντα. Στους πραγματικούς αριθμούς, ο αριθμητής πρέπει να είναι γραμμικός.
4. Εύρεση των σταθερών χωρίς έλεγχο του αποτελέσματος με επανασυνδυασμό των κλασμάτων.

Πού χρησιμοποιείται η ανάλυση σε μερικά κλάσματα

Αυτή η μέθοδος εμφανίζεται συχνότερα στον λογισμό και στην άλγεβρα. Στον λογισμό, είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων αφού παραγοντοποιηθεί ο παρονομαστής. Στην άλγεβρα, μπορεί να κάνει μια ρητή παράσταση πιο εύκολη στην απλοποίηση ή στη σύγκριση.

Η ακριβής μορφή εξαρτάται από το τι θεωρείται παράγοντας στο μάθημά σου. Για παράδειγμα, ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού που παραμένει μη αναγώγιμο στους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να παραγοντοποιείται στους μιγαδικούς αριθμούς, και αυτό θα άλλαζε την ανάλυση.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε να αναλύσεις την παράσταση

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Στήσε την ως

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

βρες τα $A$ και $B$ και μετά ξανασυνδύασε το αποτέλεσμα για να το ελέγξεις. Αν θέλεις να προχωρήσεις ένα βήμα παραπέρα, εξέτασε και μια περίπτωση με επαναλαμβανόμενο παράγοντα και πρόσεξε πώς αλλάζει το στήσιμο.