长除法——分步方法与示例

长除法是一种用手算把一个整数除以另一个整数的分步方法。如果你想知道长除法怎么做，反复使用的模式就是：除、乘、减、移下。

一旦掌握了这个循环，大多数长除法题目就变成了数位值和细心减法的练习。

1. 除。
2. 乘。
3. 减。
4. 移下。

长除法是什么意思

长除法把一个较大的除法问题拆成更小、更容易处理的部分。你不是一次就求出整个商，而是每一步都在问：除数能装进被除数当前这一部分多少次？

这就是为什么你不一定总是只从第一位数字开始。如果除数比这一位大，就要把下一位也包括进来再试一次。

长除法的步骤顺序

1. 先看被除数最左边、能够被除数除进去的那一部分。
2. 在被除数这一部分的上方写出商的一位。
3. 用这一位商乘除数。
4. 把乘积写在下面并相减。
5. 把下一位移下来。
6. 重复以上步骤，直到没有数字可移。

如果最后一次相减的结果不是 $0$，剩下的数就是余数。

例题：$156 \div 12$

我们要求 $156 \div 12$。

从左边开始。因为 $12$ 不能除进 $1$，所以要看前两位：$15$。

1. 除

$12$ 除进 $15$ 一次，所以在商上写 $1$。

2. 乘

$$1 \times 12 = 12$$

把 $12$ 写在 $15$ 的下面。

3. 减

$$15 - 12 = 3$$

所以这一步剩下的是 $3$。

4. 移下

把下一位数字 $6$ 移下来，得到 $36$。

5. 重复这个循环

$12$ 除进 $36$ 三次，所以在商的第一位后面写 $3$。

然后再次进行乘法和减法：

$$3 \times 12 = 36$$ $$36 - 36 = 0$$

已经没有数字可以再移下来了，所以除法完成。

$$156 \div 12 = 13$$

如何检查答案

用商乘除数：

$$13 \times 12 = 156$$

因为乘积和原来的被除数相同，所以商是正确的。

如果有余数，可以用：

$$\text{dividend} = \text{divisor} \times \text{quotient} + \text{remainder}$$

例如，$157 \div 12 = 13$ 余 $1$，因为 $12 \times 13 + 1 = 157$。

常见错误

开始时取的位数太少

如果除数比当前这一位大，就先不要除，要把下一位也一起用上。在 $156 \div 12$ 中，如果只从 $1$ 开始就是错的，因为 $12$ 不能除进 $1$。

商的位置写错

商的每一位都应该和你刚刚使用的那部分被除数的最后一位对齐。如果位置写错，后面的计算通常也会跟着出错。

忘记移下下一位

每次相减后，都要问自己：被除数里还有没有下一位？如果有，就要在停止之前先把它移下来。

长除法什么时候会用到

当除数有两位或更多位、需要清楚展示解题过程，或者需要得到准确的商和余数时，长除法就很有用。

同样的结构也有助于处理小数除法，以及把某些分数化成小数。虽然写法会有一点变化，但“除—乘—减—移下”的模式是一样的。

试一道类似的题

你可以自己试试 $168 \div 14$。先手算，再用乘法检查答案。

再进一步的话，可以试一道有余数的题，比如 $173 \div 12$，并用 $12 \times q + r$ 来验证。