Rozkład na ułamki proste

Rozkład na ułamki proste przepisuje wyrażenie wymierne jako sumę prostszych ułamków. Stosuje się go po rozłożeniu mianownika na czynniki, zwykle po to, by ułatwić całkowanie lub przekształcenia algebraiczne.

Pierwsze sprawdzenie jest ważne: stopień licznika musi być mniejszy niż stopień mianownika. Gdy ten warunek jest spełniony, wyrażenie nazywa się właściwym. Jeśli nie jest spełniony, najpierw wykonaj dzielenie wielomianów, a potem rozłóż resztę.

Co oznacza rozkład na ułamki proste

Wyrażenie wymierne jest ilorazem wielomianów, na przykład

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Rozkład na ułamki proste pyta, czy ten jeden ułamek można przepisać jako sumę w postaci

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Jeśli obie postacie są równe dla wszystkich dozwolonych $x$, to stałe $A$ i $B$ opisują to samo wyrażenie w prostszej strukturze.

Kiedy można stosować rozkład na ułamki proste

Ta metoda działa dla wyrażeń wymiernych po rozłożeniu mianownika na czynniki w używanym zbiorze liczb. W większości początkowych kursów analizy matematycznej oznacza to rozkład nad liczbami rzeczywistymi.

Postać mianownika wyznacza postać ułamków:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

To właśnie jest sedno tej metody. Jeśli rozkład na czynniki jest błędny lub niepełny, całe ustawienie też będzie błędne.

Przykład: rozkład wyrażenia wymiernego

Rozłóż

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Ponieważ mianownik ma dwa różne czynniki liniowe, zaczynamy od

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Pomnóż obie strony przez $(x + 1)(x + 2)$, aby usunąć mianowniki:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Rozwiń prawą stronę:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Teraz porównaj współczynniki po obu stronach:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Odejmij pierwsze równanie od drugiego:

$$A = 2.$$

Wtedy

$$B = 3.$$

Zatem rozkład ma postać

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Możesz to sprawdzić, ponownie sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Jak zmienia się postać rozkładu dla różnych mianowników

Postać rozkładu zawsze wynika z czynników w mianowniku.

Jeśli mianownik ma różne czynniki liniowe, używamy stałych liczników:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Jeśli czynnik liniowy się powtarza, uwzględnij każdą potęgę aż do tej krotności:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Jeśli czynnika kwadratowego nie da się dalej rozłożyć nad liczbami rzeczywistymi, użyj licznika liniowego:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Ten ostatni przypadek powoduje wiele błędów. Dla nierozkładalnego czynnika kwadratowego sam licznik stały na ogół nie wystarcza.

Typowe błędy przy rozkładzie na ułamki proste

1. Pomijanie sprawdzenia stopni. Jeśli ułamek jest niewłaściwy, rozkład na ułamki proste wykonuje się po dzieleniu wielomianów, a nie przed nim.
2. Zapominanie o czynnikach powtarzających się. Dla $(x-1)^3$ potrzebujesz składników dla $(x-1)$, $(x-1)^2$ i $(x-1)^3$.
3. Używanie tylko stałych liczników nad nierozkładalnym czynnikiem kwadratowym. Nad liczbami rzeczywistymi licznik powinien być liniowy.
4. Wyznaczenie stałych bez sprawdzenia wyniku przez ponowne połączenie ułamków.

Gdzie stosuje się rozkład na ułamki proste

Ta metoda pojawia się najczęściej w analizie matematycznej i algebrze. W analizie jest szczególnie przydatna przy całkowaniu funkcji wymiernych po rozłożeniu mianownika na czynniki. W algebrze może ułatwić upraszczanie lub porównywanie wyrażeń wymiernych.

Dokładna postać zależy od tego, co w danym kursie uznaje się za czynnik. Na przykład trójmian kwadratowy, który pozostaje nierozkładalny nad liczbami rzeczywistymi, może rozkładać się nad liczbami zespolonymi, a to zmieni rozkład.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj rozłożyć

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Przyjmij postać

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

wyznacz $A$ i $B$, a następnie połącz wynik z powrotem, aby go sprawdzić. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, przeanalizuj też przypadek z czynnikiem powtarzającym się i zobacz, jak zmienia się postać rozkładu.