Scomposizione in fratti semplici

La scomposizione in fratti semplici riscrive un’espressione razionale come somma di frazioni più semplici. Si usa dopo aver fattorizzato il denominatore, di solito per rendere più facili l’integrazione o i passaggi algebrici.

Il primo controllo è importante: il grado del numeratore deve essere minore di quello del denominatore. Quando questa condizione vale, l’espressione si dice propria. Se non vale, fai prima la divisione tra polinomi e poi scomponi il resto.

Cosa significa scomposizione in fratti semplici

Un’espressione razionale è un quoziente di polinomi, come

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

La scomposizione in fratti semplici chiede se quella singola frazione può essere riscritta come una somma del tipo

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Se le due forme sono uguali per tutti i valori ammessi di $x$, allora le costanti $A$ e $B$ rappresentano la stessa espressione in una struttura più semplice.

Quando si può usare la scomposizione in fratti semplici

Questo metodo funziona per le espressioni razionali dopo che il denominatore è stato fattorizzato nel sistema numerico che stai usando. Nei primi corsi di analisi, di solito questo significa fattorizzare nei numeri reali.

La forma del denominatore determina la forma delle frazioni:

$$(x-a)(x-b) \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$

Questa struttura è l’idea fondamentale. Se la fattorizzazione è sbagliata o incompleta, anche l’impostazione sarà sbagliata.

Esempio svolto: scomporre un’espressione razionale

Scomponi

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Poiché il denominatore ha due fattori lineari distinti, si parte da

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}.$$

Moltiplica entrambi i membri per $(x + 1)(x + 2)$ per eliminare i denominatori:

$$5x + 7 = A(x + 2) + B(x + 1).$$

Sviluppa il secondo membro:

$$5x + 7 = (A + B)x + (2A + B).$$

Ora confronta i coefficienti nei due membri:

$$A + B = 5$$ $$2A + B = 7$$

Sottrai la prima equazione dalla seconda:

$$A = 2.$$

Poi

$$B = 3.$$

Quindi la scomposizione è

$$\frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2}.$$

Puoi verificarlo ricombinando di nuovo il secondo membro:

$$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 3(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)}.$$

Come cambia l’impostazione con denominatori diversi

L’impostazione deriva sempre dai fattori nel denominatore.

Se il denominatore ha fattori lineari distinti, usa numeratori costanti:

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}.$$

Se un fattore lineare è ripetuto, includi ogni potenza fino a quella ripetizione:

$$\frac{P(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}.$$

Se un fattore quadratico non può essere ulteriormente fattorizzato nei numeri reali, usa un numeratore lineare:

$$\frac{P(x)}{x^2 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1}.$$

Quest’ultimo caso causa molti errori. In generale, un numeratore costante non basta per un fattore quadratico irriducibile.

Errori comuni nella scomposizione in fratti semplici

1. Saltare il controllo del grado. Se la frazione è impropria, i fratti semplici vanno usati dopo la divisione tra polinomi, non prima.
2. Dimenticare i fattori ripetuti. Per $(x-1)^3$, servono termini per $(x-1)$, $(x-1)^2$ e $(x-1)^3$.
3. Usare solo costanti sopra un fattore quadratico irriducibile. Nei numeri reali, il numeratore deve essere lineare.
4. Trovare le costanti ma non controllare il risultato ricombinando le frazioni.

Dove si usa la scomposizione in fratti semplici

Questo metodo compare soprattutto in analisi e in algebra. In analisi, è particolarmente utile per integrare funzioni razionali dopo aver fattorizzato il denominatore. In algebra, può rendere un’espressione razionale più facile da semplificare o confrontare.

La forma esatta dipende da ciò che nel tuo corso viene considerato un fattore. Per esempio, un quadratico che resta irriducibile nei numeri reali può fattorizzarsi nei numeri complessi, e questo cambierebbe la scomposizione.

Prova un esercizio simile

Prova a scomporre

$$\frac{3x + 4}{(x + 1)(x + 3)}.$$

Impostalo come

$$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3},$$

trova $A$ e $B$, poi ricombina il risultato per controllarlo. Se vuoi fare un passo in più, prova anche un caso con un fattore ripetuto e osserva come cambia l’impostazione.